§ 2.3. Метод интегрального преобразования Фурье

Одномерный случай (одна пространственная переменная). Известно, что если функция удовлетворяет определенным условиям, то справедлива интегральная формула Фурье

Назовем образом Фурье функции функцию

в силу интегральной формулы Фурье функция может быть восстановлена с помощью формулы

Переход от называется интегральным преобразованием Фурье, а переход от называется обратным преобразованием Фурье.

Если же функция задана на полупрямой то можно рассматривать косинус-образ Фурье

переход от которого к оригиналу осуществляется по формуле

и синус-образ Фурье

переход от которого к оригиналу осуществляется по формуле

Основными свойствами преобразования Фурье являются:

1) линейность, т.е. произвольные постоянные);

2) преобразование частных производных, т. е. если и преобразование Фурье проводится по переменной то

(это доказывается интегрированием по частям), а образы частных производных по даются формулами

Таблица 2.1. Преобразование Фурье некоторых функций

Рис. 2.9. Блок-схема преобразования Фурье

(в предположении, что указанные частные производные по удовлетворяют определенным условиям).

Мы видим, что под действием преобразования Фурье операция дифференцирования по заменяется умножением. Этот важный факт используется при решении граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Есть много других интересных свойств преобразований Фурье, на которых мы не останавливаемся. Примеры преобразования Фурье см. в табл. 2.1.

Вернемся к решению граничных задач для одномерного волнового уравнения. Чтобы решить такую задачу для переходят по переменной с помощью преобразования Фурье к задаче для образа Решив эту, более простую задачу, находят функцию с помощью обратного преобразования Фурье (рис. 2.9).

Пример 1 [4, гл. II, № 178]. Решить краевую задачу

Решение. Применим косинус-преобразование Фурье по переменной Пусть

Сразу проверим выполнение граничного условия Имеем

Дифференцирование по дает

откуда следует, что Тогда, учитывая, что

приходим к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

для определения функции Решение этой задачи имеет вид

Искомую функцию находим с помощью обратного косинус-преобразования Фурье:

Рассмотрим два случая.

(см. скан)

Поскольку функция определена только для положительных значений то нужно преобразовать последний интеграл:

Теперь

Итак, искомое решение есть

где

Замечание 1. В качестве функций могут быть, например, взяты функции и т.д.

Замечание 2. Для решения задач на полуограниченной прямой с граничным условием нужно воспользоваться синус-преобразованием Фурье, так как, если

то

откуда получаем

Рассмотрим более сложную задачу на применение преобразования Фурье.

Пример 2 [4, гл. II, № 176]. Решить задачу Коши

Решение. Применим к левой и правой частям уравнения с частными производными преобразование Фурье по переменной Получим обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с

нулевыми начальными условиями

Воспользуемся методом Дюамеля решения этой задачи Коши. Именно, решим вспомогательную задачу Коши.

Тогда решение исходной преобразованной задачи дается формулой

где

Отсюда

Обозначим Тогда

откуда

Значит,

т.е.

По формуле обращения преобразования Фурье

В теории функций Бесселя имеет место формула

Сделаем в этом равенстве замену

Отсюда

Теперь будем иметь

Сделаем в интеграле замену переменной ту откуда —

Тогда

Следовательно,

Положим

Тогда

В силу интегральной формулы Фурье

Отсюда (в силу определения функции получаем

Окончательно

Двумерный случай (две пространственные переменные). Пример 3 [4, гл. IV, № 106]. Решить краевую задачу

Решение. Применяя преобразование Фурье к уравнению по переменным х и у и начальным условиям рассматриваемой задачи с учетом того, что

(последнее равенство устанавливается с помощью интегрирования по частям с использованием обращения в нуль на бесконечности по функции и ее частных производных получим задачу Коши

Решив эту задачу методом Дюамеля (или методом вариации произвольных постоянных), найдем

Применяя обратное преобразование Фурье, имеем

Подставляя сюда значения и обозначая придем к равенству

Вычислим четырехкратный несобственный интеграл, вводя полярные координаты соотношениями

Отсюда немедленно следует равенство

где Теперь имеем

Но справедливо равенство (интегральное представление функций Бесселя)

откуда получим

или (считая вещественным)

Это дает

Учтем еще, что

Значит,

Окончательно,

или

Трехмерный случай (три пространственные переменные). Пример 4 [4, гл. IV, № 107]. Решить краевую задачу

Решение. Применяя преобразование Фурье по переменным к уравнению и начальным условиям, получим задачу Коши

Решение указанной задачи (по аналогии с предыдущим) дается интегралом

где

По формуле обращения преобразования Фурье имеем

Для вычисления шестикратного интеграла перейдем к полярным координатам по формулам

(здесь 5 — угол между векторами Тогда

учитывая, что

(кликните для просмотра скана)

Поэтому

Выполнив в последнем интеграле замену переменной откуда и переходя от поверхностного интеграла к объемному, окончательно получим

где

В заключение рассмотрим еще одну задачу на применение преобразования Фурье.

Пример 5 [4, гл. IV, № 108]. Решить краевую задачу (о колебаниях неограниченной пластины)

Решение. Применим преобразование Фурье по пространственным переменным к уравнению и начальным условиям. Предварительно найдем

Интегрируя по частям (с учетом обращения в нуль внеинтегральных членов), получим

где, как обычно,

Далее,

Получим задачу Коши

Решение ее есть функция

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, получим

(здесь мы воспользовались формулой и учли, что интегралы, содержащие равны нулю).

Выполним в полученном четырехкратном интеграле интегрирование по применяя формулы

Имеем

где обозначено

Переходя в интеграле

к переменным окончательно получим