Главная > Практический курс по уравнениям математической физики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 1.6. Краевые задачи для уравнения Пуассона в кольце и круге

При решении задачи Дирихле или Неймана (или смешанного типа) нужно найти какое-либо частное решение уравнения Пуассона и с помощью замены свести дело к решению краевой задачи для уравнения Лапласа

Пример 1 [18]. Найти решение уравнения Пуассона

в круге радиуса с центром в начале координат при условии

Решение. Переходя к полярной системе координат, получаем задачу

Будем искать частное решение в виде

Подставляя функцию в уравнение (1.11) и сокращая на придем к уравнению

С помощью замены это уравнение приводится к уравнению с постоянными коэффициентами

Видим, что решение уравнения (1.13). Значит, частное решение уравнения (1.12). Таким образом,

Введем функцию Очевидно, для определения функции имеем задачу Дирихле для уравнения Лапласа

Решение этой задачи мы уже знаем:

Итак, решение имеет вид

Пример 2. Найти распределение потенциала в кольце если внутри него находятся электрические заряды с плотностью внутренняя окружность поддерживается при потенциале 1 и напряженность электрического поля на внешней окружности равна 0.

Решение. Задача сводится к решению уравнения Пуассона в кольце при краевых условиях и

Переходя к полярным координатам, получаем задачу

Решение ищем в виде причем функция есть решение вспомогательной задачи

а функция есть решение задачи

Очевидно, что решение задачи (1.14) есть Решение задачи (1.15) ищем в виде Подставляя в уравнение (1.15), найдем

или, сокращая на будем иметь уравнение

с дополнительными условиями Это уравнение подстановкой преобразуется к уравнению с постоянными коэффициентами

Его общее решение: Значит,

Постоянные находим из условий Имеем

Следовательно, решение есть

1
Оглавление
email@scask.ru