§ 1.6. Краевые задачи для уравнения Пуассона в кольце и круге

При решении задачи Дирихле или Неймана (или смешанного типа) нужно найти какое-либо частное решение уравнения Пуассона и с помощью замены свести дело к решению краевой задачи для уравнения Лапласа

Пример 1 [18]. Найти решение уравнения Пуассона

в круге радиуса с центром в начале координат при условии

Решение. Переходя к полярной системе координат, получаем задачу

Будем искать частное решение в виде

Подставляя функцию в уравнение (1.11) и сокращая на придем к уравнению

С помощью замены это уравнение приводится к уравнению с постоянными коэффициентами

Видим, что решение уравнения (1.13). Значит, частное решение уравнения (1.12). Таким образом,

Введем функцию Очевидно, для определения функции имеем задачу Дирихле для уравнения Лапласа

Решение этой задачи мы уже знаем:

Итак, решение имеет вид

Пример 2. Найти распределение потенциала в кольце если внутри него находятся электрические заряды с плотностью внутренняя окружность поддерживается при потенциале 1 и напряженность электрического поля на внешней окружности равна 0.

Решение. Задача сводится к решению уравнения Пуассона в кольце при краевых условиях и

Переходя к полярным координатам, получаем задачу

Решение ищем в виде причем функция есть решение вспомогательной задачи

а функция есть решение задачи

Очевидно, что решение задачи (1.14) есть Решение задачи (1.15) ищем в виде Подставляя в уравнение (1.15), найдем

или, сокращая на будем иметь уравнение

с дополнительными условиями Это уравнение подстановкой преобразуется к уравнению с постоянными коэффициентами

Его общее решение: Значит,

Постоянные находим из условий Имеем

Следовательно, решение есть