§ 1.11. Краевая задача для уравнения Гельмгольца в цилиндре
Пример [4, гл. VII, № 10]. Найти стационарное распределение концентрации неустойчивого газа внутри бесконечного цилиндра кругового сечения, если на поверхности цилиндра поддерживается постоянная концентрация 
Решение. Известно, что задача о диффузии неустойчивого газа, распадающегося в процессе диффузии, описывается уравнением
Таким образом, в полярной системе координат получим задачу
(здесь а — радиус цилиндра).
Ищем решение в виде 
Подставив это выражение в уравнение (1.37), получим
или
Отсюда следуют два обыкновенных дифференциальных уравнения:
Из первого уравнения, учитывая, что 
получаем 
где 
произвольные постоянные.
Далее, из второго уравнения вытекает
После замены 
получим уравнение
Это уравнение Бесселя мнимого аргумента порядка 
Его общее решение имеет вид
где 
цилиндрические функции мнимого аргумента первого и второго рода соответственно. Очевидно, надо полагать 
в силу ограниченности решения на оси цилиндра (ведь 
имеет логарифмическую особенность при 
Возвращаясь к старой переменной, записываем
где С — произвольная постоянная.
Значит,
где постоянные 
находим из граничного условия. Имеем
Так как 
получим 
и все остальные постоянные ряда обращаются в нуль. Итак, решение есть
