§ 2.9. Метод Фурье. Колебания круглой мембраны

Для описания колебаний круглой мембраны требуется привлечение специальных функций, а именно функций Бесселя.

Пример [18, § 3, № 104]. Круглая однородная мембрана радиуса закрепленная по контуру, находится в состоянии равновесия при натяжении . В момент времени к поверхности мембраны приложена равномерно распределенная нагрузка Найти радиальные колебания мембраны.

Решение. Математическая постановка задачи имеет вид

В силу принципа суперпозиции решение данной задачи можно представить в виде суммы где решение

краевой задачи

а решение задачи

Ясно, что сначала нужно найти Будем искать в виде где функция подлежит определению. Подставляя в уравнение задачи (2.42), получим

откуда, сокращая на будем иметь краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения

Решение этой задачи есть где функция решение задачи

частное решение уравнения

Легко видеть, что уравнение задачи (2.45) с помощью замены приводится к уравнению Бесселя нулевого порядка и в силу граничного условия решение задачи (2.45) есть функция где функция Бесселя нулевого порядка первого рода. Далее, решение задачи (2.46) есть функция

Таким образом,

Из граничного условия имеем

откуда

Значит,

Отсюда

Теперь найдем функцию решая задачу (2.43). Заметим, что

Полагая и подставляя это выражение в уравнение задачи (2.43), получим после разделения переменных

Отсюда имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Уравнение (2.47) заменой приводится к уравнению Бесселя нулевого порядка. Таким образом, решение уравнения (2.47) с учетом граничных условий есть

причем

Далее, из уравнения (2.48) получаем

где произвольные постоянные.

Решение задачи (2.43) дается рядом

Постоянные подберем так, чтобы выполнялись начальные условия

Очевидно, что ибо

Далее, дифференцируя функцию по переменной имеем

Отсюда, полагая получаем

Для определения коэффициентов умножим обе части написанного разложения на и проинтегрируем по отрезку считая при этом возможным почленное интегрирование. Принимая во внимание формулы

найдем, что

откуда

Таким образом, получаем

Тогда решение исходной задачи дается формулой

Замечание 1. Решение задачи получено в предположении, что частота и вынуждающей силы не совпадает ни с одной собственной частотой мембраны (здесь положительный корень уравнения

Замечание 2. Отметим, что решение смешанной задачи для волнового уравнения в круге с математической постановкой

(здесь осуществляется так же, как и решение только что приведенной задачи. При этом решение задачи (2.49) представляется рядом

Из начальных условий следует

Но известно, что

(оба тождества проверяются непосредственным дифференцированием с применением рекуррентных соотношений для функций Бесселя первого рода).

Используя указанные тождества, окончательно получим

положительный корень уравнения