§ 2.2. Метод подбора частных решений

Иногда удобно, не применяя общей формулы, дающей решение задачи Коши для волнового уравнения, найти решение этой задачи, используя специфику правой части уравнения и начальных условий. Действительно, даламбертиан определенный на дважды непрерывно дифференцируемых функциях, отображает, например, функции вида многочлен степени в функции того же вида. Заметив это, легко подобрать нужное частное решение задачи Коши.

Пример 1. Решить задачу Коши

Решение. Разобьем эту задачу на две подзадачи:

Легко видеть, что решением задачи а) является функция

В самом деле,

Далее, функции являются решениями уравнения Лапласа (т. е. гармоничны во всем трехмерном пространстве), так как, например,

Следовательно, функция

есть решение задачи б).

Таким образом, решение исходной задачи есть

Пример 2. Решить задачу Коши

Решение. Разобьем задачу на две:

Решение задачи 1) ищем в виде

причем (для выполнения начальных условий Подставляя в уравнение получим

Отсюда приходим к задаче Коши

Ее решение есть Значит,

Аналогично, решение задачи 2) ищем в виде

причем

По аналогии со случаем 1) приходим к задаче Коши

Ее решение имеет вид -Значит,

Следовательно, решение исходной задачи есть