Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 1.3. Внутренняя и внешняя задачи ДирихлеРассмотрим два важнейших случая, когда кольцо обращается в круг и внешность круга. Внутренняя задача Дирихле
решается точно так же, как решалась задача Дирихле для кольца, с тем отличием, что теперь необходимо отбросить те «атомы» решения, которые не ограничены при стремлении
Следовательно, в качестве решения остается взять функцию
где коэффициенты
Другими словами, мы просто разлагаем функцию
а затем каждый член этого ряда умножаем на коэффициенты
имеет решение
Внешняя задача Дирихле
решается аналогично предыдущей, с тем отличием, что теперь необходимо отбросить те «атомы» решения, которые не ограничены при стремлении
Следовательно, в качестве решения нужно взять функцию
где коэффициенты
имеет решение
Отметим, что ограниченное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в двумерной неограниченной области является единственным. В заключение параграфа рассмотрим еще один пример, одно упражнение (интеграл Пуассона) и задачу, связанную с интегралом Пуассона.
Рис. 1.1 Пример [1]. Найти стационарное распределение температуры в однородном секторе Решение. Нахождение стационарной температуры сводится к решению задачи Дирихле
Полагая
Из условий
Имеем
Учитывая ограниченность (по смыслу задачи) функции
Отсюда решение задачи есть
Постоянные
Таким образом,
откуда
Итак, решение задачи записывается в виде
Отметим, что решение имеет особенность в граничной точке
|
1 |
Оглавление
|