§ 1.3. Внутренняя и внешняя задачи Дирихле

Рассмотрим два важнейших случая, когда кольцо обращается в круг и внешность круга. Внутренняя задача Дирихле

решается точно так же, как решалась задача Дирихле для кольца, с тем отличием, что теперь необходимо отбросить те «атомы» решения, которые не ограничены при стремлении к нулю:

Следовательно, в качестве решения остается взять функцию

где коэффициенты вычисляются по формулам

Другими словами, мы просто разлагаем функцию в ряд Фурье

а затем каждый член этого ряда умножаем на коэффициенты Например, внутренняя задача

имеет решение

Внешняя задача Дирихле

решается аналогично предыдущей, с тем отличием, что теперь необходимо отбросить те «атомы» решения, которые не ограничены при стремлении к бесконечности:

Следовательно, в качестве решения нужно взять функцию

где коэффициенты вычисляются по формулам (1.7). Например, внешняя задача

имеет решение

Отметим, что ограниченное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в двумерной неограниченной области является единственным.

В заключение параграфа рассмотрим еще один пример, одно упражнение (интеграл Пуассона) и задачу, связанную с интегралом Пуассона.

Рис. 1.1

Пример [1]. Найти стационарное распределение температуры в однородном секторе Осра, удовлетворяющее краевым условиям (см. рис. 1.1).

Решение. Нахождение стационарной температуры сводится к решению задачи Дирихле

Полагая и проведя разделение переменных, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Из условий следует Постоянную разделения определяем, решая задачу Штурма-Лиувилля

Имеем Функцию ищем в виде Подставляя это выражение в уравнение (1.8), найдем

Учитывая ограниченность (по смыслу задачи) функции пишем Атомы, из которых построим решение задачи, образуются функциями

Отсюда решение задачи есть

Постоянные определяем из условия Имеем

Таким образом,

откуда

Итак, решение задачи записывается в виде

Отметим, что решение имеет особенность в граничной точке из-за несогласования граничных значений.