§ 2.8. Метод Фурье. Колебания прямоугольной мембраны

Мембраной мы называем пленку, т. е. очень тонкое твердое тело, натянутое равномерно по всем направлениям и не сопротивляющееся изгибу. Оказывается, для описания колебаний мембраны не требуется привлечения специальных функций, а можно обойтись только синусами и косинусами.

Пример 1 [4, гл. VI, №20.18]. Решить следующую смешанную задачу:

Решение. Рассмотрим вначале вспомогательную задачу: найти функцию удовлетворяющую уравнению (2.18) и граничным условиям (2.19). Эту функцию ищем в виде Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (2.18), получим

откуда делением на обеих частей уравнения будем иметь

Мы видим, что левая часть уравнения (2.21) зависит только от а правая часть — от х и у. Поскольку эти переменные изменяются независимо друг от друга, то равенство (2.21) возможно только в случае, когда

Из соотношений (2.22) получаем два уравнения:

— уравнение с частными производными

— обыкновенное дифференциальное уравнение

Теперь заметим, что из граничных условий (2.19) следует

Тогда для функции имеем следующую краевую задачу:

Эта задача читается так: найти те значения параметра при которых задача (2.25), (2.26) имеет ненулевые (нетривиальные) решения, и найти эти решения.

Задачу (2.25), (2.26) решаем методом разделения переменных, полагая

Подставляя (2.27) в уравнение (2.25), найдем

откуда делением на произведение получим

или

Левая часть уравнения (2.28) зависит только от правая часть — только от у. Значит, это равенство возможно только в случае, когда

где новая постоянная разделения. Из соотношений (2.29) имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Из граничных условий (2.26) вытекает, что

Следовательно, для нахождения функций получаем две задачи Штурма-Лиувилля:

С подобной задачей мы уже встречались и знаем, что ее решение имеет вид

Тогда собственным значениям

будут соответствовать собственные функции

Вернемся к уравнению (2.24), подставляя туда вместо величину Будем иметь уравнение

Общее решение этого уравнения есть

где произвольные постоянные.

Итак, «атомами» решения задачи (2.18), (2.19) являются произведения Решение задачи дается рядом

где коэффициенты подлежат определению.

Ясно, что система функций ортогональна и полна в прямоугольнике (ортогональность очевидна, ибо

доказательство полноты более сложно и мы его опускаем).

Полагая теперь в общем решении получим

откуда, используя формулы для коэффициентов двойного ряда Фурье, пишем

У нас Значит

Далее, дифференцируя по решение (2.35), получим

Отсюда, полагая можно записать

или

Таким образом,

Следовательно, решение задачи есть функция

Замечание. Решение смешанной задачи

проводится методом разложения по собственным функциям соответствующей однородной задачи. Именно, искомое решение ищется в виде

причем функции находятся так же, как и функции в случае решения аналогичной задачи для неоднородного уравнения колебаний струны.

Пример 2. Решить смешанную задачу (с граничным условием Неймана)

( граница прямоугольника

Решение. В силу только что сказанного решение этой задачи ищем в виде у (поскольку собственными функциями соответствующей однородной задачи

граница прямоугольника) являются произведения

Подставляя выражение для функции в уравнение (2.36), получим задачу Коши

Общее решение задачи (2.39), (2.40) имеет вид

где произвольные постоянные. Используя начальные условия (2.40), получим Следовательно,

Таким образом, решение исходной задачи есть

Пример Однородная прямоугольная мембрана, закрепленная по краям в начальный момент времени получает удар в окрестности центральной точки, так что

где начальная скорость, — окрестность центральной точки. Определить свободные колебания мембраны.

Решение. Математическая постановка задачи имеет вид

где открытый круг радиуса с центром в точке .

Применяя метод разделения переменных, получим

Здесь

Нам нужно найти коэффициенты Полагая в написанном равенстве, имеем

Так как по условию то Значит,

Отсюда, дифференцируя по будем иметь

откуда

Следовательно,

где (по теореме о среднем).

Переходя в этом равенстве к пределу при получим

Итак, решение нашей задачи есть функция

Замечание. Эту задачу можно решить, применяя понятие -функции.