§ 1.10. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца
Уравнения Гельмгольца 
являются наряду с уравнениями Лапласа и Пуассона важным видом эллиптических уравнений второго порядка. Однородное уравнение 
например, естественно возникает (в многомерном случае) в методе разделения переменных для гиперболических и параболических задач. Нахождение собственных функций и собственных значений сводится к разрешимости соответствующей граничной задачи для уравнения Гельмгольца с 
Пример [4, гл. 
Найти собственные колебания мембраны, имеющей форму кольцевого сектора 
со свободной границей.
Решение. Математическая постановка задачи имеет вид
Решение задачи ищем в виде
Подставляя эту функцию в уравнение (1.35) и разделяя переменные, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
Для определения 
имеем задачу Штурма-Лиувилля
Отсюда 
Функцию 
находим из уравнения Бесселя
с учетом граничных условий 
Общее решение уравнения (1.36) имеет вид
где 
произвольные постоянные, 
функция Бесселя второго рода. Значения 
определяются с помощью граничных условий 
Запишем систему уравнений
Она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель
равен нулю. Тогда 
где 
корень уравнения
Значит, радиальная функция имеет вид
Итак, собственные колебания описываются функциями
