§ 1.12. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца в круге

Пример 1. Решить краевую задачу для уравнения Гельмгольца в круге

(здесь где собственное значение однородной задачи Дирихле для уравнения

Решение. Воспользуемся снова методом разделения переменных. Полагая и подставляя предполагаемую форму

решения в уравнение Гельмгольца, получаем

Откуда

( — постоянная разделения).

Собственные значения и собственные функции определяются как решения уже хорошо известной задачи

Имеем

Так как

то для определения получаем уравнение

Обозначив перепишем уравнение (1.38) в виде

Это уравнение Бесселя порядка Его общее решение есть

где функция Бесселя первого рода порядка функция Бесселя второго рода порядка произвольные постоянные. Значит, решение уравнения (1.38) имеет вид

Поскольку при а мы имеем дело с ограниченными решениями, то полагаем Таким образом, Решение нашей задачи представляется рядом

Постоянные находим из граничного условия. Полагая в получаем

откуда

В частности, при будем иметь

и в этом случае решение имеет вид

Пример 2. Внешняя задача Дирихле для уравнения Гельмгольца.

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, решение задачи находится методом разделения переменных. Но только теперь для выделения единственного решения требуется учитывать при условие излучения (условие Зоммерфельда)

Решение уравнения (1.38) надо теперь записать в виде

где функции Ханкеля индекса соответственно первого и второго рода. На бесконечности поведение функций Ханкеля определяется асимптотическими формулами

Ясно, что условию излучения удовлетворяет функция (проверяется непосредственно).

Значит, решение внешней задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца дается рядом

где коэффициенты находятся по формулам