§ 1.13. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца в шаре

Рассмотрим несколько примеров на решение внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана для шара.

Пример 1 [4, гл. VII, № 12]. Найти стационарное распределение концентрации неустойчивого газа внутри сферы радиуса а, если на поверхности сферы поддерживается концентрация Решение. Математическая постановка задачи:

Как обычно, ищем решение в виде

Подставим это решение в уравнение (1.40). Получим

или (разделив на

Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Из второго уравнения заменой (с учетом ) находим

где полиномы Лежандра.

Первое уравнение заменой легко привести к виду

Ограниченное решение этого уравнения есть

( функция Бесселя полуцелого порядка мнимого аргумента). Тогда

Таким образом, решение представляется рядом

где постоянные находим из граничного условия. Имеем равенство

Отсюда (все остальные коэффициенты ряда равны нулю). Значит, решение имеет вид

Пример 2 [6, гл. V, 18.51]. Решить задачу Неймана для уравнения внутри и вне сферы при условии

Решение, а) Внутреннюю задачу Неймана можно записать так:

Поскольку уравнение (1.41) можно переписать так:

Общее решение этого уравнения есть

и, значит,

В силу ограниченности решения в центре шара мы должны считать Поэтому

Найдем теперь нормальную производную:

Используя граничное условие (1.42), получим

откуда

и, следовательно, решение имеет вид

б) Внешняя задача Неймана записывается так:

По аналогии с а) уравнение (1.43) можно переписать так:

Общее решение этого уравнения есть

и, значит,

Покажем, что функция удовлетворяет условию Зоммерфельда

т.е. что

Действительно,

Следовательно, для выделения единственного решения надо положить и тогда

Вычислим теперь нормальную производную:

Имеем

Из граничного условия (1.44) следует, что

Значит, решение внешней задачи Неймана дается формулой

Пример 3 [6, гл. V, 18.53]. Решить задачу Дирихле для уравнения внутри и вне сферы при условии

Решение, а) Решаем сначала внутреннюю задачу Дирихле

По аналогии с примером 2 имеем уравнение

Его общее решение имеет вид

и, значит,

где произвольные постоянные.

Заметим, что при Поэтому мы должны считать Таким образом,

Постоянную С определяем из граничного условия т. е. откуда

Следовательно, решение есть

б) Решаем внешнюю задачу Дирихле

В этом случае Поскольку для внешней задачи при то мы должны считать Поэтому

Из граничного условия находим постоянную Следовательно, решение есть