§ 2.11. Метод возмущений

Здесь мы коротко рассмотрим метод возмущений, который лежит в основе решения многих задач математической физики [11, 13, 23]. Этот метод позволяет свести решение некоторых сложных задач к серии простых задач в соответствии с блок-схемой на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Блок-схема метода возмущений

Предположим, что нам нужно решить задачу Коши для уравнения с переменным коэффициентом

Задачу (2.60), (2.61) можно решить, отправляясь от решения задачи Коши для простого уравнения.

Для этого рассмотрим возмущенную линейную задачу

и будем искать ее решение в виде ряда

где функции подлежат определению.

Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (2.62). В результате получим

Проделав несложные алгебраические преобразования и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим последовательность уравнений

Аналогично, для начальных данных задачи (2.62), (2.63) получаем степенные ряды по

Из равенств (2.68) и (2.69) находим начальные данные для задач (2.65), (2.66) и т.д. Именно,

Следовательно, имеем последовательность задач Коши

Функция дающая решение задачи (2.70), находится по формуле Даламбера, так что она нам известна. Решение же задачи (2.71) дается формулой

Таким образом, решения задач (2.70), (2.71) найдены.

Функцию часто называют возмущением первого порядка к функции Складывая получим приближенное решение задачи (2.60), (2.61).

Чтобы найти возмущение следующего порядка мы должны решить задачу Коши для уравнения (2.67).

Подобным же образом находятся остальные функции Точное решение задачи (2.60), (2.61) дается рядом

Приведем теперь пример нелинейной гиперболической задачи. Пусть нам нужно решить задачу Коши

Ищем решение этой задачи, отправляясь от возмущенной задачи [13, с. 66, №2.20] (и считая

Полагая подставим эту функцию в возмущенное уравнение (2.74). Получим

или, в развернутом виде,

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим последовательность задач Коши

Решение задачи (2.76) находится по формуле Даламбера. Проделав простые преобразования, получим

Найдем теперь решая линейную задачу

Решение задачи (2.78) записывается в виде

(см. скан)

Таким образом, функция найдена.

Приближенное решение нелинейной задачи (2.72), (2.73) имеет вид а точное решение этой задачи дается рядом

§ 2.12. Задачи для самостоятельного решения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

§ 2.13. Ответы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)