§ 3.1. Метод интегрального преобразования Фурье

Мы уже видели, как применяется преобразование Фурье при решении гиперболических задач. В этом параграфе рассмотрим применение преобразования Фурье при решении параболических задач.

Задачи на прямой и полупрямой.

Пример 1 [4, гл. III, №55]. Применяя интегральное преобразование Фурье, решить следующую краевую задачу:

Решение. Обозначим через преобразование Фурье (по переменной функции т. е.

или, коротко, где оператор Фурье. Хорошо известно, что

т. е.

Далее,

Пусть еще Тогда уравнение теплопроводности в образах Фурье запишется так:

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной (в уравнении переменная играет роль параметра).

Мы имеем такую задачу Коши:

Решим эту задачу Коши методом Дюамеля. Для этого решим вспомогательную задачу

Имеем

Тогда, как известно,

Отсюда

(см. скан)

При этом мы воспользовались хорошо известным преобразованием Фурье функции Именно,

Итак,

Пример 2 [4, гл. III, №57]. Применяя интегральное преобразование Фурье, решить краевую задачу

Решение. Применим косинус-преобразование Фурье

При этом обратное косинус-преобразование Фурье есть

Из последнего равенства легко следует, что

откуда т. е. граничное условие для искомого решения выполнено. Заметим, далее, что

Таким образом, получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

(здесь А — параметр).

Решение этой задачи имеет вид

Применяя обратное преобразование Фурье, находим

При этом мы учли, что

Пример 3 [4, гл. III, №113]. Найти распределение температуры вдоль бесконечного стержня, составленного из двух однородных стержней, соприкасающихся в точке и обладающих характеристиками соответственно. Начальная температура есть

(здесь постоянные из уравнения теплопроводности; коэффициенты теплопроводности).

Решение. Из формулы Пуассона

дающей распределение температуры вдоль неограниченного стержня при начальном условии , следует, что решением уравнения теплопроводности

с начальным условием

является функция

где функция так называемый интеграл ошибок.

Для решения исходной задачи будем рассуждать следующим образом. Продолжим левый стержень (с температурой вправо, чтобы получился неограниченный однородный стержень. Затем найдем температуру полученного неограниченного стержня при условии, что его начальная температура есть

где некоторая постоянная.

Аналогично поступаем с правым полуограниченным стержнем, считая, что

Постоянные находим из условий сопряжения:

1) непрерывность температуры в точке

2) непрерывность теплового потока в точке

По сказанному имеем

Условия сопряжения дают систему уравнений для определения

Решив ее, найдем

Тогда

где

Задачи в трехмерном пространстве и полупространстве.

Пример 4 [4, гл. V, №60]. Решить задачу Коши

Решение. Воспользуемся преобразованием Фурье по пространственным переменным:

Получим задачу Коши в терминах образов Фурье

Отсюда, применяя метод Дюамеля, будем иметь

В силу обратного преобразования Фурье будем иметь

(см. скан)

В самом деле, обозначим Тогда

(см. скан)

Замечание 2. Пусть не зависит от Тогда имеем задачу Коши вида

Очевидно, в этом случае решение есть

Пример 5 [4, гл. V, №67]. Найти температуру в верхнем полупространстве, если начальная температура полупространства равна нулю, температура на плоскости равна нулю, в самом полупространстве действуют тепловые источники с плотностью т. е. имеем задачу Коши

Решение. В этом случае преобразование Фурье возьмем в виде

Тогда

(заметим, что отсюда следует выполнение условия Уравнение с частными производными в образах Фурье примет вид

Отсюда

Следовательно,

(см. скан)

Вычислим тройной интеграл

Итак, искомое решение есть