Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3.1. Метод интегрального преобразования ФурьеМы уже видели, как применяется преобразование Фурье при решении гиперболических задач. В этом параграфе рассмотрим применение преобразования Фурье при решении параболических задач. Задачи на прямой и полупрямой. Пример 1 [4, гл. III, №55]. Применяя интегральное преобразование Фурье, решить следующую краевую задачу:
Решение. Обозначим через
или, коротко,
т. е.
Далее,
Пусть еще
Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной Мы имеем такую задачу Коши:
Решим эту задачу Коши методом Дюамеля. Для этого решим вспомогательную задачу
Имеем
Тогда, как известно,
Отсюда (см. скан) При этом мы воспользовались хорошо известным преобразованием Фурье функции
Итак,
Пример 2 [4, гл. III, №57]. Применяя интегральное преобразование Фурье, решить краевую задачу
Решение. Применим косинус-преобразование Фурье
При этом обратное косинус-преобразование Фурье есть
Из последнего равенства легко следует, что
откуда
Таким образом, получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
(здесь А — параметр). Решение этой задачи имеет вид
Применяя обратное преобразование Фурье, находим
При этом мы учли, что
Пример 3 [4, гл. III, №113]. Найти распределение температуры вдоль бесконечного стержня, составленного из двух однородных стержней, соприкасающихся в точке
(здесь Решение. Из формулы Пуассона
дающей распределение температуры вдоль неограниченного стержня при начальном условии
с начальным условием
является функция
где функция Для решения исходной задачи будем рассуждать следующим образом. Продолжим левый стержень (с температурой
где Аналогично поступаем с правым полуограниченным стержнем, считая, что
Постоянные 1) непрерывность температуры в точке
2) непрерывность теплового потока в точке
По сказанному имеем
Условия сопряжения дают систему уравнений для определения
Решив ее, найдем
Тогда
где
Задачи в трехмерном пространстве и полупространстве. Пример 4 [4, гл. V, №60]. Решить задачу Коши
Решение. Воспользуемся преобразованием Фурье по пространственным переменным:
Получим задачу Коши в терминах образов Фурье
Отсюда, применяя метод Дюамеля, будем иметь
В силу обратного преобразования Фурье будем иметь
(см. скан) В самом деле, обозначим (см. скан) Замечание 2. Пусть
Очевидно, в этом случае решение есть
Пример 5 [4, гл. V, №67]. Найти температуру в верхнем полупространстве, если начальная температура полупространства равна нулю, температура на плоскости
Решение. В этом случае преобразование Фурье возьмем в виде
Тогда
(заметим, что отсюда следует выполнение условия
Отсюда
Следовательно, (см. скан) Вычислим тройной интеграл
Итак, искомое решение есть
|
1 |
Оглавление
|