§ 1.17. Другие методы

В этом параграфе рассмотрим способы решения краевых задач для бигармонического уравнения и уравнения

а также краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в полупространстве (без использования функции Грина).

Бигармоническое уравнение.

Пример 1. Решить краевую задачу в круге

внешняя единичная нормаль на границе круга).

Решение. Указанная задача — задача Дирихле для бигармонического уравнения. Известно, что она имеет единственное решение, даваемое формулой (здесь

В нашем случае Поэтому решение есть

или

Чтобы вычислить последний интеграл, заметим, что он дает решение следующей задачи Дирихле для уравнения Лапласа в данном круге:

Но решение этой задачи, очевидно, Тогда в силу единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа будем иметь тождество

Следовательно, решение нашей задачи дается формулой

Пример 2. Решить краевую задачу в круге

Решение. Можно считать, что решение нашей задачи зависит только от переменной т. е. Далее, заметим, что

и, таким образом, получим задачу для обыкновенного дифференциального уравнения

Из уравнения (1.61) имеем

Обозначим Тогда будем иметь уравнение второго порядка относительно функции

Это хорошо известное уравнение Эйлера. Его общее решение есть функция

Мы полагаем в противном случае функция становится неограниченной в центре круга (при . Следовательно, откуда

Постоянные находим из граничных условий (1.62). Таким образом, решение есть

или

Пример 3. Решить краевую задачу в полуплоскости

Решение. Уравнение (1.63) перепишем в виде

Будем считать, что где функция подлежит определению. Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (1.65), получим

откуда

Общее решение уравнения (1.66) имеет вид

Постоянные: иначе при Поэтому

Постоянные находим из граничных условий (1.64) (ведь из условий (1.64) следует Имеем

Таким образом, решение нашей задачи есть

Уравнения Лапласа и Пуассона.

Пример 4. Решить краевую задачу в полупространстве

Решение. Ищем функцию в виде где функция подлежит определению. Тогда получим

и, следовательно, имеет место равенство

откуда имеем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции

Общее решение этого уравнения есть

Найдем постоянные из граничных условий. Отметим вначале, что так как если то при мы бы имели Поэтому

Полагая здесь находим Но значит, Таким образом, решение задачи есть

Пример 5. Решить краевую задачу в полупространстве

Решение. Заметим, что функция

удовлетворяет уравнению Лапласа во всем полупространстве (фундаментальное решение), т. е.

Теперь продифференцируем обе части этого равенства по переменной Получим

Дифференцируя это равенство еще раз по переменной будем иметь

Рассмотрим функцию

Она гармонична во всем полупространстве (так как по предыдущему) и при имеем

Следовательно, решением задачи является функция

§ 1.18. Задачи для самостоятельного решения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

§ 1.19. Ответы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)