§ 3.4. Модификация метода разделения переменных для решения задачи Коши

Решение задачи Коши

доставляет нам интеграл Пуассона (вообще говоря). Но зачастую вычисления, связанные с этим интегралом, столь громоздки, что приходится отказываться от его применения. Тем не менее, оказывается, что для широкого класса функций можно предложить метод частных решений. Для этого заметим, что оператор теплопроводности переводит (отображает), например, функции вида у (в двумерном случае) в функции того же вида

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 [6, гл. Решить задачу Коши

Решение, как было сказано, можно находить по формуле Пуассона, но иногда (как в нашем случае) удобнее применить метод разделения переменных. Разобьем нашу задачу на две:

Функцию ищем в виде

где функция подлежит определению. Подставляя это выражение в уравнение

будем иметь

откуда получаем задачу Коши (учитывая, что

Легко проверить, что ее решением является функция

Следовательно, Далее, решением второй задачи является функция

Значит,

Пример 2 [6, гл. IV, 13.6(2)]. Решить задачу Коши

Решение. Снова разбиваем задачу на две:

Сразу видно, что Функцию ищем в виде

Подставляя это выражение в уравнение

получим

откуда приходим к задаче Коши для функции

Решение этой задачи есть функция

Таким образом,

Следовательно,

Оказывается также, что если начальные данные задачи обладают определенной симметрией, то естественно решение задачи Коши искать в том же классе функций (т. е. среди функций, обладающих той же симметрией). Приведем соответствующие примеры.

Пример 3 [6, гл. IV, 13.8(5)]. Решить задачу Коши

(-мерное евклидово пространство).

Решение. Будем считать, что

Тогда, учитывая, что и обозначая получим

Отсюда

и уравнение перепишется в виде

а задача Коши примет вид

Следовательно, интеграл Пуассона дает

Для вычисления этого интеграла сделаем замену переменных

Тогда будем иметь

Следовательно, решение исходной задачи Кошй представляется формулой

Пример 4 [6, гл. IV, 13.6(4)]. Решить задачу Коши

Решение. Ищем решение в виде суммы решений двух задач:

Решение задачи 1) имеет вид Найдем решение задачи 2). Будем считать, что

Тогда, учитывая, что (обозначим )

получим задачу Коши для определения функции

Решение этой задачи дается формулой Пуассона :

где

Итак,

Значит, искомое решение есть

Пример 5 [6, гл. IV, 13.7(4)]. Решить задачу Коши

Решение. Снова находим решения двух вспомогательных задач

Решение задачи 1) ищем в виде где функция подлежит определению. Подставляя выражение для в уравнение, получим

ибо Отсюда следует, что решение задачи Коши

(кликните для просмотра скана)

Значит, искомое решение есть

§ 3.5. Задачи для самостоятельного решения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

§ 3.6. Ответы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Литература

(см. скан)