§ 1.2. Примеры задач Дирихле в кольце

Пример 1. Предположим, что потенциал на внутренней окружности кольца равен нулю, а потенциал на внешней — равен Найти потенциал в кольце.

Имеем задачу

на определение потенциала в кольце.

Вообще говоря, для решения задачи нужно вычислить все интегралы в формулах (1.6), затем решить соответствующие системы уравнений, чтобы найти коэффициенты . В данном случае проще попытаться подобрать такие частные решения, линейная комбинация которых удовлетворяет граничным условиям. Здесь такую роль играет линейная комбинация Из граничных условий получаем систему уравнений

из которой находим —2/3. Таким образом, решение есть

Пример 2. Рассмотрим задачу с постоянными потенциалами на границах кольца

В этом случае решение ищем в виде функции, не зависящей от т. е. Подставляя эту функцию в граничные условия, получим систему уравнений

откуда Следовательно, решением будет функция

Пример 3. Решим такую задачу Дирихле:

Можно проверить, что все коэффициенты равны нулю, а коэффициенты определяются из систем уравнений

Решая эти системы, получим

Следовательно, решением задачи является функция

Так как задача Дирихле для уравнения Лапласа в ограниченной области имеет единственное решение, то других решений, кроме указанных в примерах 1—3, быть не может.