Глава 1. Эллиптические задачи

Эффективным методом решения краевых задач (в областях, обладающих определенной симметрией) для уравнений Лапласа и Гельмгольца является метод разделения переменных. Общая идея метода заключается в нахождении множества решений однородного уравнения с частными производными, удовлетворяющих определенным граничным условиям. Эти решения являются теми «атомами», из которых строится «общее» решение на основе принципа линейной суперпозиции. Поскольку каждый из «атомов» — решение соответствующего однородного уравнения, то их линейная комбинация также есть решение этого же уравнения.

Решение нашей задачи дается рядом «атомы» решения — точка из рассматриваемой области пространства; произвольные постоянные). Остается найти постоянные так, чтобы удовлетворялись граничные условия.

§ 1.1. Задача Дирихле в кольце для уравнения Лапласа

Пусть требуется решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в области, заключенной между двумя концентрическими окружностями, радиусов с центром в начале координат:

Вводя полярные координаты можно задачу Дирихле записать так:

При этом граничные функции считаем периодическими функциями периода

Для решения задачи применим метод Фурье. Будем искать решения в виде Подставив выражение в уравнение (1.1), получим

Разделим теперь обе части этого уравнения на в результате чего получим

Про это уравнение говорят, что в нем переменные разделены, так как левая часть уравнения зависит только от а правая — только от Поскольку переменные не зависят друг от друга, то каждая часть уравнения (1.2) должна быть константой. Обозначим эту константу через Тогда будем иметь

Ясно, что при изменении угла на величину однозначная функция должна вернуться к исходному значению, т. е. . Отсюда Значит, , т. е. функция является периодической функцией с периодом Из уравнения следует, что — произвольные постоянные), и в силу периодичности должно быть выполнено равенство где целое число.

В самом деле, из равенства

(обозначение: следует, что и значит, т. е. или где целое число. Теперь из уравнения (1.3) получаем

Если то решение этого уравнения ищем в виде Подставляя это выражение в уравнение (1.4) и сокращая на находим

При уравнение (1.4) имеет два решения: Итак, у нас есть теперь бесконечный набор функций («атомы» решения)

удовлетворяющих исходному уравнению с частными производными. Поскольку сумма этих решений также является решением, то «общее» решение уравнения Лапласа в нашем случае имеет вид

Осталось найти только все коэффициенты в сумме (1.5) так, чтобы удовлетворить граничным условиям . Полагая в формуле получим

Вспоминая выражения для коэффициентов Фурье тригонометрического ряда, приходим к следующим системам уравнений:

(решается относительно

(решается относительно

(решается относительно

Тем самым из этих систем уравнений находятся все неизвестные коэффициенты Теперь задача (1.1) полностью решена. Решение дается выражением (1.5), коэффициенты в котором определяются по формулам (1.6).