§ 2.6. Метод стоячих волн. Колебания ограниченной струны

Мы знаем, как решать волновое уравнение на всей прямой (задача Коши). Формула Даламбера представляет решение в виде суммы двух бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Если же рассматривать это уравнение на ограниченном промежутке то бегущих волн уже не будет, так как они будут взаимодействовать с границами. Вместо них возникают другие волны, которые называются стоячими волнами. Посмотрим, например, что случится, если струну, закрепленную в точках привести в движение. Для ответа на этот вопрос нам необходимо решить следующую смешанную гиперболическую задачу:

(где — уравнение с частными производными, (2.10) — начальные условия, (2.11) — граничные условия). Оказывается, что в этом случае бегущие волны отражаются от границ таким образом, что результирующие колебания становятся не бегущими, а сохраняющими форму в одном положении, т. е. превращаются в стоячие волны.

Например, решение уравнения является стоячей волной.

Задачу будем решать методом Фурье (методом разделения переменных). Сущность метода с достаточной полнотой изложена в ряде учебников (например, [1,5, 22]). Мы напомним лишь идею метода. .В предположении, что решение удовлетворяет только граничным условиям (2.11) от уравнения с частными производными переходят к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:

где постоянная разделения. Комбинируя решения этих уравнений, находим частные решения задачи в виде где

По принципу суперпозиции решением задачи является

Рис. 2.11. Блок-схема разделения переменных

дающий «общее» решение задачи (2.9)-(2.11). Используя начальные условия, определяем коэффициенты Сказанное иллюстрируется блок-схемой на рис. 2.11.

Таким образом, решением задачи (2.9)-(2.11) является ряд

Полагая вначале здесь получим

Поэтому имеет место равенство

Мы получили разложение в ряд Фурье по синусам функции в

интервале Как известно, коэффициенты вычисляются по формулам

Дифференцируя теперь ряд (2.12) по переменной получим

Полагая в будем иметь

Но Поэтому

Отсюда

Итак, коэффициенты и определены из начальных условий. Замечание 1. Отметим, что при решении нестационарной задачи методом разделения переменных существенна однородность граничных условий. Другими словами, если граничные условия ненулевые, то задачу надо предварительно свести к случаю однородных (нулевых) граничных условий.

Замечание 2. Если мы желаем решить неоднородное уравнение с однородными граничными и начальными условиями, то сначала нужно найти собственные функции соответствующей однородной задачи плюс однородные граничные условия; например, в данном случае это будут собственные функции а затем искать решение предложенной задачи в виде где функции подлежат определению.

Такой способ решения называется методом разложения по собственным функциям.

Замечание 3. Пусть требуется решить следующую гиперболическую задачу:

На основании принципа суперпозиции решение этой задачи представляется в виде суммы решений двух гиперболических задач: