§ 1.16. Метод функций Грина

Определение функции Грина. Будем рассматривать краевые задачи

Считаем функцию непрерывной вместе с первыми частными производными в замкнутой области ограниченной достаточно гладкой поверхностью и имеющей вторые частные производные в интегрируемые в этой области Здесь единичная внешняя нормаль к поверхности вещественные числа такие, что

Метод функций Грина решения таких задач состоит в следующем. Сначала решаем вспомогательную задачу [1]

где функция, которую можно формально определить при помощи соотношений

(обозначение ясно). Основным свойством -функции является равенство

где произвольная непрерывная функция точки

Определение. Решение задачи (1.51) называется функцией Грина задачи (1.50).

Будем требовать, чтобы функция Грина была непрерывной (вместе с частными производными первого порядка) всюду в замкнутой области кроме точки в которой функция может иметь особенность.

Если функция Грина найдена, то с ее помощью легко найти решение исходной задачи (1.50). Для этого воспользуемся второй формулой Грина

Эта формула легко получается из формулы Гаусса-Остроградского

(а — векторное поле; скалярное произведение векторов ), если положить последовательно и вычесть результаты. Действительно, имеем два равенства

Учитывая, что и из равенств (1.53) и (1.54) вычитанием получим вторую формулу Грина.

Положим теперь в формуле Грина Тогда, учитывая, что получим

Но по основному свойству -функции

Поэтому предыдущее равенство дает

Из этой формулы получаем:

а) решение задачи Дирихле при

в виде

б) решение задачи Неймана при

в виде

Замечание 1. Физическая интерпретация интеграла

состоит в том, что правая часть уравнения рассматривается как некоторое входное воздействие на систему и разлагается в непрерывную совокупность источников, распределенных на области Затем находится отклик системы на каждый такой источник и все отклики суммируются.

Построение функции Грина. Одним из методов построения функции Грина является метод отражений. Например, функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в случае полупространства имеют вид

где расстояние между точками точка, лежащая в верхнем полупространстве точка, симметричная точке относительно плоскости произвольная точка полупространства

С физической точки зрения функцию Грина можно интерпретировать как потенциал поля, созданного точечными зарядами, помещенными в точку (над заземленной проводящей плоскостью и точку (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Потенциал в точке равен — заземленная проводящая плоскость)

Рис. 1.12. Потенциал в точке равен

Заметим, что в случае полуплоскости функция Грина примет вид (рис. 1.12)

Примеры решения задач с помощью функции Грина. Пусть требуется решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости

Тогда решение этой задачи есть

(мы положили где

Вычислив получим

Пример 1 [3, № 244]. Найти гармоническую в полуплоскости функцию если известно, что

Решение. Требуется вычислить интеграл

По-видимому, проще всего это сделать, если воспользоваться теорией вычетов, а именно следующей формулой:

Поскольку

выполнено равенство

Итак, искомое решение задачи есть

Замечание 2. Решение рассмотренной задачи Дирихле

можно получить, не прибегая к функции Грина.

В самом деле, используя тот факт, что функция является решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости можно написать

Дифференцируя это равенство по переменной будем иметь

Таким образом, функция является гармонической в верхней полуплоскости. В нашем случае с учетом граничного условия решением задачи Дирихле является функция

Пример 2 [6, гл. V, 17.4(2)]. Найти решение задачи Дирихле

Решение. Известно, что искомая гармоническая функция находится по формуле

Для вычисления интеграла произведем замену якобианом, равным единице. Получим

ибо все остальные три интеграла равны нулю в силу нечетности соответствующей подынтегральной функции.

Теперь вычислим интеграл:

так как другой интеграл равен нулю.

Сделаем замену независимых переменных

что соответствует повороту плоскости на угол 45° против часовой стрелки. Тогда будем иметь

Но с помощью подстановки преобразуется к виду

Значит, интеграл

по теореме Коши о вычетах равен

Итак, решение есть

Замечание 3. Так как где то формулу Пуассона (1.55) можно записать в виде

Рассмотрим теперь задачу Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости (т. е. при

где рациональная функция действительна, не имеет полюсов на действительной оси и при Решением указанной задачи Дирихле в силу (1.56) является функция

Этот интеграл можно вычислить с помощью вычетов по теореме Коши

где вычеты берутся по всем полюсам функции лежащим в нижней полуплоскости

Пример 3. Решить задачу Дирихле

Решение. По формуле (1.57) получим