§ 2.4. Метод интегрального преобразования Лапласа

Мы уже видели, как применяется преобразование Фурье для решения некоторых задач. В этом параграфе мы познакомимся с преобразованием Лапласа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

а) кусочно непрерывна на отрезке для любого

б)

в) существуют числа такие, что

Тогда преобразованием Лапласа функции называется функция

где обозначение:

Очевидно, преобразование Лапласа существует, если (при этом несобственный интеграл сходится).

Основными свойствами преобразования Лапласа являются:

1) линейность, т. е. где постоянные;

2) преобразование частных производных по такому правилу: если и преобразование Лапласа проводится по переменной , то, обозначив

можно (интегрированием по частям) установить соотношение

при определенных условиях на функцию и ее частные производные.

Имеется много других свойств преобразования Лапласа, на которых мы не останавливаемся.

Мы видим, что преобразование Лапласа заменяет операцию дифференцирования по временной переменной умножением. Этот важный факт используется при решении дифференциальных уравнений с частными производными.

Блок-схема применения преобразования Лапласа к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными вполне аналогична блок-схеме применения преобразования Фурье (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Блок-схема преобразования Лапласа

Таблица 2.2. Преобразование Лапласа некоторых функций

В табл. 2.2 приведены преобразования Лапласа некоторых функций. Рассмотрим теперь, как применяется преобразование Лапласа к решению гиперболических задач.

Пример Начиная с момента к концу полубесконечной изолированной электрической линии подключена Найти напряжение для в линии, если начальное напряжение и начальный ток в ней равны нулю, для случаев, когда:

а) линия без потерь

б) линия без искажения

Решение. Математическая постановка задачи для случая а) имеет вид

(здесь соответственно индуктивность и емкость единицы длины провода).

Применим преобразование Лапласа по временной переменной к левой и правой частям дифференциального уравнения с частными производными. Тогда, учитывая, что

получим обыкновенное дифференциальное уравнение

с граничными условиями

(второе граничное условие следует из физических соображений).

Итак, имеем граничную задачу

Общее решение нашего уравнения есть

где произвольные постоянные. Сразу отметим, что нужно полагать (иначе при ). Поэтому

Полагая здесь находим По условию Значит Следовательно,

Отсюда, возвращаясь к оригиналу, получим

Рассмотрим случай б). Математическая постановка задачи имеет вид

где (здесь — сопротивление и проводимость единицы длины провода).

Применяя преобразование Лапласа, получим граничную задачу

Общее решение уравнения имеет вид

Из граничного условия следует, что Значит,

Отсюда получаем, что напряжение в проводе есть

Пример 2 [4, №839]. Решить краевую задачу на полуограниченной прямой

Решение. Снова применяем к обеим частям данного уравнения и к граничным и начальным условиям преобразование Лапласа по переменной Получаем граничную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения

где

По предыдущему где С — произвольная постоянная.

В силу граничного условия пишем откуда значит,

Следовательно, оригинал имеет вид