§ 3.2. Метод интегрального преобразования Лапласа

С применением преобразования Лапласа к гиперболическим задачам мы уже знакомились. В этом параграфе мы решим несколько параболических задач с использованием преобразования Лапласа. Заметим, что блок-схема решения задач этим методом такая же, как и в гиперболическом случае.

Пример 1 [3, гл. 5, №832]. Решить краевую задачу

Решение. Воспользуемся преобразованием Лапласа по переменной Учитывая свойство этого преобразования, имеем

Из уравнения (3.1), применяя к левой и правой его частям преобразование Лапласа, находим

или

Мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка (в этом уравнении играет роль параметра) по переменной Его можно переписать так:

Общее решение этого уравнения есть функция

Заметим теперь, что постоянную С здесь нужно считать равной нулю, ибо если то при (нарушается необходимое условие существования изображения). Таким образом,

Теперь осталось вернуться к оригиналу Имеем

и по теореме о свертке получим

Следовательно, решение нашей задачи есть

Пример 2 [3, гл. 5, №837(b)]. Начальная температура тонкого однородного стержня равна нулю. Определить температуру в стержне при если стержень полубесконечен где заданная функция.

Решение. Математическая постановка задачи имеет вид

Для решения этой задачи воспользуемся преобразованием Лапласа по временной переменной Снова учитывая свойства этого преобразования, имеем

Из уравнения (3.2) следует, что

или

или

Мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по переменной (в этом уравнении играет роль параметра). К этому уравнению у нас есть два дополнительных условия. Действительно, нам известна функция при что следует из граничного условия задачи (3.2). Если обозначить через изображение функции то запишем

Далее, из физического смысла задачи, очевидно, нужно считать, что Поэтому приходим к такой краевой задаче:

Общее решение уравнения (3.3) есть

где произвольные постоянные.

Ясно, что ибо при при Поэтому

Полагая здесь будем иметь Но по условию Значит, Таким образом,

Осталось вернуться к оригиналу Учитывая, что

по теореме о свертке получим

Пример 3. Начальное напряжение в полуограниченном однородном проводе равно нулю. Самоиндукция и утечка единицы длины провода пренебрежимо малы. Начиная с момента к концу провода прикладывается постоянная электродвижущая сила Найти напряжение в проводе.

Решение. Математическая постановка задачи имеет вид

(здесь емкость и сопротивление единицы длины провода, напряжение в проводе с координатой в момент времени

Применим преобразование Лапласа по временной переменной к обеим частям уравнения (3.4):

Тогда, если обозначить действительная переменная из промежутка ( с учетом

приходим к граничной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения относительно переменной

(в этом уравнении играет роль параметра).

У нас получилось обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, но только с одним граничным условием. Однако второе граничное условие у нас тоже есть. Из физических соображений следует, что при Итак, на самом деле мы имеем два граничных условия.

Общее решение нашего уравнения есть

где произвольные постоянные. Сразу отметим, что (иначе при ). Поэтому

Положим здесь Получим Но Значит, Осталось обратить преобразование Лапласа. По табл. 2.2 находим, что напряжение есть

где интеграл ошибок.