Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 1.7. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольникеПример 1 [18]. Найти распределение потенциала электростатического поля Решение. Задача сводится к решению уравнения Лапласа
Рис. 1.2 Будем искать вначале нетривиальные частные решения уравнения Лапласа, удовлетворяющие только граничным условиям
в виде
Учитывая, что
для определения собственных значений и собственных функций нашей задачи. Имеем
Соответствующие функции
В качестве решения исходной задачи возьмем ряд
Постоянные
откуда следует
Полагая теперь в
откуда вытекает
Таким образом, решение имеет вид
Пример 2 [18]. Две стороны, Решение. Мы имеем краевую задачу для уравнения Пуассона с граничными условиями смешанного типа
(здесь Собственные значения и собственные функции задачи найдем, решив вспомогательную краевую задачу (задачу Штурма-Лиувилля)
Получим
где
где коэффициенты Фурье
Отсюда для нахождения
Решая эту задачу, найдем
где
Окончательное решение есть
Пример 3 [18]. Найти решение уравнения Лапласа в полуполосе
Решение. Требуется решить краевую задачу
Ищем решение вспомогательной задачи
в виде Из условий
дает
Значит, решение задачи (1.18) дается рядом
Из условия
то есть
Таким образом,
Замечание 1. Сходным образом решается краевая задача для уравнения Лапласа (Пуассона) в прямоугольном параллелепипеде. Замечание 2. Предположим, что математическая модель описываемого физического явления такова, что как само уравнение, так и граничные условия неоднородны. Тогда с помощью суперпозиции исходную задачу можно разложить на подзадачи, решить все подзадачи и, сложив полученные решения, найти решение данной задачи. Например, решение задачи Дирихле
является суммой решений более простых задач:
|
1 |
Оглавление
|