§ 1.7. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в прямоугольнике

Пример 1 [18]. Найти распределение потенциала электростатического поля внутри прямоугольника ОАСВу у которого вдоль стороны ОВ потенциал равен V, а три другие стороны заземлены. Электрические заряды внутри прямоугольника отсутствуют (рис. 1.2).

Решение. Задача сводится к решению уравнения Лапласа внутри прямоугольника при краевых условиях

Рис. 1.2

Будем искать вначале нетривиальные частные решения уравнения Лапласа, удовлетворяющие только граничным условиям

в виде Подставляя это выражение в уравнение получим откуда делением на найдем

Учитывая, что получим задачу Штурма-Лиувилля

для определения собственных значений и собственных функций нашей задачи. Имеем

Соответствующие функции являются решениями уравнения откуда

произвольные постоянные). Значит, нетривиальные частные («атомы») решения будут иметь вид

В качестве решения исходной задачи возьмем ряд

Постоянные находим из условий Полагая в получим

откуда следует

Полагая теперь в будем иметь

откуда вытекает

Таким образом, решение имеет вид

Пример 2 [18]. Две стороны, и прямоугольной однородной пластинки (см. рис. 1.2) покрыты тепловой изоляцией, а две другие поддерживаются при температуре, равной нулю. Найти стационарное распределение температуры при условии, что в пластинке выделяется тепло

Решение. Мы имеем краевую задачу для уравнения Пуассона с граничными условиями смешанного типа

(здесь коэффициент внутренней теплопроводности).

Собственные значения и собственные функции задачи найдем, решив вспомогательную краевую задачу (задачу Штурма-Лиувилля)

Получим Решение данной задачи ищем в виде разложения по собственным функциям

где функции, подлежащие определению. Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (1.17), получим

где коэффициенты Фурье функции равны

Отсюда для нахождения будем иметь следующую краевую задачу:

Решая эту задачу, найдем

где

Окончательное решение есть

Пример 3 [18]. Найти решение уравнения Лапласа в полуполосе удовлетворяющее граничным условиям

Решение. Требуется решить краевую задачу

Ищем решение вспомогательной задачи

в виде Получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Из условий следует, что Поэтому задача Штурма-Лиувилля

дает Тогда из уравнения вытекает, что

Значит, решение задачи (1.18) дается рядом

Из условия находим, что Полагая в будем иметь

то есть

Таким образом,

Замечание 1. Сходным образом решается краевая задача для уравнения Лапласа (Пуассона) в прямоугольном параллелепипеде.

Замечание 2. Предположим, что математическая модель описываемого физического явления такова, что как само уравнение, так и граничные условия неоднородны. Тогда с помощью суперпозиции исходную задачу можно разложить на подзадачи, решить все подзадачи и, сложив полученные решения, найти решение данной задачи.

Например, решение задачи Дирихле

является суммой решений более простых задач: