§ 2.5. Метод интегрального преобразования Ханкеля

Пусть задана функция Если она удовлетворяет определенным условиям, то для нее можно определить преобразование Ханкеля (нулевого порядка) по формуле

— функция Бесселя первого рода индекса нуль. При этом функция восстанавливается с помощью обратного преобразования Ханкеля по формуле

Функцию часто называют образом Фурье-Бесселя-Ханкеля, а функцию оригиналом.

Преобразование Ханкеля целесообразно применять, очевидно, в случае, когда оператор Лапласа (или оператор записан в полярных координатах и полярный радиус изменяется от 0 до Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 1 [4, гл. VI, № 109]. Решить краевую задачу

(здесь некоторые константы).

Решение. Для вывода уравнения для образа применим преобразование Ханкеля (нулевого порядка) к исходному уравнению по переменной Имеем

причем

Для левой части этого уравнения имеем

Для правой части уравнения имеем (применяя формулу интегрирования по частям)

поскольку внеинтегральные члены исчезают в силу условий

По определению для функции Бесселя имеем равенство

откуда

Значит,

Поэтому данное уравнение с частными производными переходит в уравнение вида

Далее, найдем образ Фурье-Бесселя-Ханкеля функции Имеем

Известно, что

(кликните для просмотра скана)

(берем первую ветвь соответствующую в выражении где ). Очевидно,

причем

Значит,

Таким образом, решение есть

Пример 2 [4, гл. VI, № 110]. Найти радиально симметричные поперечные колебания неограниченной пластинки, считая заданным (и зависящим только от радиуса) ее начальное положение (начальную скорость положить равной нулю).

Решение. Известно, что поперечные колебания неограниченной пластинки описываются уравнением

с присоединением к нему начальных условий. В данном случае удобно перейти к полярной системе координат и записать математическую постановку задачи в виде

Вычислим преобразование Ханкеля функции

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)