2.6. Проверка гипотез о числе факторов

Теперь мы обсудим проблему проверки гипотезы о наличии ровно простых факторов. Хороший критерий возможен лишь для небольших в этом случае можно построить критерий типа для больших выборок» методом отношения правдоподобия Неймана и Пирсона. С этого момента мы снова воспользуемся знаком «крышка» для обозначения оценок. Символами без «крышки» будем обозначать истинные значения. Если верна, то С дает лучшие оценки для дисперсий и ковариаций. Подстановка С вместо С в выражение (2.3) дает

Если, с другой стороны, предположить лишь нормальность и не принять никаких гипотез о С, то наилучшие оценки для С даст А. Подставив в (2.3) А вместо С, получим

Хорошо известно, что для больших выборок распределено асимптотически как Это дает в качестве критерия выражение

Число степеней свободы для равно числу дисперсий и ковариаций минус истинное число неизвестных параметров, которое при гипотезе может быть оценено. Вследствие неопределенности, возникающей из возможности вращений факторов, действительное число неизвестных параметров равно

Следовательно, число степеней свободы для равно

Положительность этого числа обеспечивает нетривиальность гипотезы

Бартлеттом (Bartlett, 1951) было замечено, что распределение критерия (2.12) аппроксимируется более точно - распределением, если в (2.12) заменить множителем

(Строго говоря, это в некоторой степени предположение. Множитель в случае равен . Для кажется разумным заменить на на

Если уравнения для оценок решены точно, тогда, согласно Следовательно, (2.12) можно заменить выражением

Однако если для получения точного решения было проведено недостаточное число итераций, то, используя (2.15), можно получить совершенно неверный результат. Действительно, для может быть получено даже отрицательное значение!

Вычисления как и (2.15) в некоторой степенн упрощаются, если мы заметим, что

(приложение I, лемма 7).

Первый множитель в последней строке равен просто а второй является определителем порядка Используя равенство (2.9), легко показать, что

где

(В случае точного решения )

Даже с этими упрощениями и с умеренными значениями получение численного значения либо (2.12), либо (2.15) трудоемко, так как требуется значение определителя А. В большинстве практических случаев можно найти вполне подходящее приближение. Для больших это связано с тем, что числа как правило, невелики, так что можно опускать члены, содержащие степени выше второй в этих разностях.

Предположим, что уравнения для оценок решены точно, и запишем критерий (2.15) в виде

Из (2.6) и (2.9) получим

Следовательно, критерий можно переписать

где

Теперь мы распишем помня, что диагональные элементы X равны нулю, и оставляя только вторые степени Это в качестве приближенного критерия дает

Это выражение вычисляется совсем легко. Оно, как правило, приводит к хорошей аппроксимации, даже когда сделано сравнительно мало итераций и точные оценки максимального правдоподобия еще не найдены. Мы сохраним множителем в а не Если найденное значение превышает выбранный уровень значимости и гипотеза отвергается, то мы заключаем, что в факторной модели требуется по крайней мере простых факторов.