6.5. Уравнения оценок для коррелированных факторов

Предположим теперь, что факторы коррелированы и их корреляционная матрица порядка Все ее диагональные элементы равны единице, элемент строке и столбце — корреляция между факторами. Мы предположим, как и раньше, что дисперсия каждого из факторов равна единице.

Функция правдоподобия снова задается равенством (2.3), где означают то же, что и раньше, только элементы С равны теперь

что в матричной записи дает

Мы должны теперь максимизировать (2.3) не только относительно ненулевых но также и по факторным коэффициентам корреляции Это приводит к трем группам уравнений.

Поступая как в гл. 2, мы найдем, что теперь равна элементу строки и столбца матрицы

умноженному на Используем знак «крышка» для обозначения оценок. Тогда первая группа уравнений

получается приравниванием нулю тех элементов матрицы

которые соответствуют по положению ненулевым элементам

Вторая группа уравнений

такая же, как и в ортогональном случае. Кроме того, мы должны приравнять нулю частные производные по для Было найдено, что является элементом строки и столбца матрицы

умноженным на Таким образом, К — диагональная матрица.

В основном так же, как и в ортогональном случае, эти уравнения можно упростить. Для удобства мы снова опустим «крышку». Сначала умножим (6.6) справа на и получим . У этой матрицы диагональные элементы должны равняться нулю ввиду свойств Но недиагональные элементы К равны нулю и поэтому такими же должны быть ее диагональные элементы. Таким образом,

Умножим далее (6.6) справа на V, помня, что и что Тогда мы получим матрицу

имеющую нули там же, где и

Умножим теперь матрицу в левой части (6.7) справа на и воспользуемся тем, что Полученная матрица по-прежнему имеет нули на диагонали, так что

Умножение слева на V дает затем

что в силу (6.9) и того, что эквивалентно, как легко видеть, равенству

Это означает, что диагональные элементы С равны соответствующим элементам А.

Для вычислительных целей мы заметим, что дается теперь равенством

такой же, как и прежде, так что

Используя этот результат, уравнению можно придать вид

Эти уравнения в других обозначениях были раньше даны Андерсоном и Рубином и независимо Наш вывод является до некоторой степени более кратким. Уравнения (6.9), (6.10) и (6.11) могут быть решены итерационным методом, который на каждом этапе требует вычисления Если то выполнимой процедурой является вычисление матрицы

Тогда две требуемые матрицы вычисляются из равенств