8.3. Алгоритм получения оценок

Пусть обычные выборочные ковариационные матрицы с степенями свободы соответственно, полученные по случайным выборкам из каждой популяции.

На практике можно начать с исследования гипотезы Ее можно проверить, если необходимо, с помощью критерия

где

При этой гипотезе критерий распределен приближенно как степенями свободы. Приближение улучшается (Box, 1949), если выражение (8.3) умножить на

Более специфические критерии будут упомянуты позднее.

Если гипотеза была принята, то факторный анализ может быть выполнен с объединенной ковариационной матрицей мы же полагаем, что эта гипотеза отвергнута и заменена выдвинутыми в предыдущем параграфе гипотезами. Тогда логарифм функции максимального правдоподобия равен

Чтобы оценить неизвестные параметры, мы максимизируем это выражение по ненулевым элементам элементам V и элементам при условии (8.2). Окончательные уравнения для оценок такие:

где знак означает, что элементы обеих частей равны лишь тогда, когда они занимают то же положение, что и ненулевые элементы

Эти уравнения можно упростить также, как уравнения гл. 6, и решать их методом итераций. Пусть заглавные буквы без «крышки» сверху относятся к оценкам, с которых начинается итерационный цикл. Улучшенные оценки, полученные в результате этого цикла, будем обозначать теми же буквами с «крышкой» сверху.

Найдем сначала

и

Тогда улучшенные оценки для нагрузок задаются равенством

где

Последовательно вычисляем

и

Пусть такая диагональная матрица, что

Улучшенные оценки для ковариационных факторных матриц равны тогда

Найдем также

Улучшенные оценки для остаточных дисперсий равны