2.3. Решение уравнений

Как будет показано, уравнения (2.8) и (2.11) обычно могут быть решены методом итераций. Этот процесс можно рассматривать как вариант обычного метода нахождения нескольких первых собственных значений и векторов матрицы. Из уравнения (2.11) легко видеть, что элементы или квадратные корни элементов являются собственными значениями для ; мы найдем первые значений в порядке убывания их величин. Строки являются соответствующими собственными вектор-строками. Обозначим строку как Предположим для иллюстрации полного цикла итерационного процесса, что являются приближением Обозначим строку через Найдем сначала вектор-строки

и

и положительное число Лучшее приближение к задается тогда равенством

Если имеется второй простой фактор, т. е. мы последовательно найдем вектор-строку

и число

вектор-строку

и число Лучшим приближением к будет

Для третьего фактора последовательно найдем: вектор-строку

два числа

вектор-строку

и число Лучшим приближением к 1 будет

Мы продолжаем подобным образом до любого значения Лучшие оценки для образующие матрицу находятся из равенства (2.8). Новые матрицы оценок можно использовать как начальные в новом цикле итераций. На практике итерационный процесс, как правило, сходится, но установить точные условия сходимости не представляется возможным. Однако сходимость часто очень слабая, и, как заметил Хау (Howe, 1955), можно иметь весьма малые разности между последовательными итерациями и все же находиться далеко от точного решения. В большинстве случаев это, вероятно, не очень существенно, так как далекие итерации мало изменяют оценки ковариаций и, следовательно, не улучшают существенно приближение и не много выигрывают, таким образом, при получении точного решения.

Можно построить такую матрицу А, что метод максимального правдоподобия будет неприменим, так как либо не существует решения в области действительных чисел, либо одно или более равны нулю. Нарушения такого типа были известны и в других обла стях исследований, но, к счастью, редки на практике,

Недиагональные элементы С (или С) не равны соответствующим элементам А. Наилучшей оценкой ковариации между и при гипотезе является а не

Приятным свойством приведенного выше метода оценки является независимость от используемой метрики. Изменение масштаба какой-нибудь переменной приводит просто к пропорциональному изменению в ее нагрузках Это легко можно проверить по уравнениям для оценок.