3.6. Эффективность оценок и критерий значимости

Очень трудно оценить эффективность центроидного метода в том виде, в каком он обычно употребляется на практике. Отчасти это из-за необходимости оценивать факторные дисперсии, отчасти из-за того, что обычно чаще используются коэффициенты корреляции, чем ковариации. Задача усложняется до некоторой степени произволом в изменении знаков. Была исследована эффективность подправленного варианта метода, в случае когда предполагаются известными остаточные дисперсии, используется ковариационная матрица и определяется заранее замена знаков. При этих условиях было показано, что эффективность метода обычно высокая.

Для этого случая был получен критерий типа для больших выборок» для проверки значимости остатков после исключения центроидных факторов.

Этот критерий можно представить как

где

и число степеней свободы равно так же как и в гл. 2. Как и прежде, V есть диагональная матрица с остаточными дисперсиями на диагонали, (вообще говоря, не диагональная) и На практике неизвестные параметры заменены их оценками, но для простоты мы опустим «крышку» над буквой. Так как

то соответственно получим

где

Кажется реальным, что центроидный метод и без упрощений, сделанных выше, имеет сравнительно хорошую эффективность, но никакого вполне удовлетворительного критерия значимости даже для больших выборок пока не создано. Вероятно, лучше всего считать критерий (3.8) распределенным приближенно как но с меньшим на числом степеней свободы из-за оценки остаточных дисперсий. Это не совсем законно, поскольку оценки остаточных дисперсий не вполне эффективны. Число степеней свободы теперь станет таким же, как для -критерия гл. 2:

Степень приближения зависит не только от того, большая ли выборка, но и от того, является ли число степеней свободы умеренно большим.

Для получения численного значения критерия лучше всего вычислить последовательно матрицы и задаваемую формулой (3.10). Затем находится по (3.9). Это арифметически более удобно, чем прямое использование матрицы остатков. Матрица аналогична остаточной матрице, но

не симметрична, и ее диагональные элементы не обязательно равны нулю. Окончательно критерий (3.8) можно вычислить в виде

Для числовых данных этой главы мы можем проверить, значимы ли остатки после исключения двух центроидных факторов. У нас значение равное 2,5 при четырех степенях свободы, ниже ожидаемого. Конечно, к проверке при столь небольшом числе степеней свободы следует относиться с опаской, но, исходя из полученного значения, мы примем гипотезу о том, что требуется только два общих фактора, чтобы объяснить корреляции. Вообще, когда критерий много ниже или много выше выбранного уровня значимости, то вполне надежно принимать или соответственно отвергать гипотезу. В пограничном случае необходимо основываться на оценках максимума правдоподобия, чтобы принять уверенное решение.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

три — познавательные способности, а последние — физическую ловкость и время реакции.

Покажите, что число отрицательных знаков может быть сведено к минимуму в корреляционной матрице заменой знака либо у переменных 6, 7, 8 и 9, либо у переменных 6, 7, 8, 9 и 11 и что вторая возможность несколько предпочтительнее, если принять во внимание величину корреляций. Покажите, подставляя наибольшие корреляции в каждом столбце в диагональную клетку того же столбца, что нагрузки на первый фактор до восстановления знаков таковы:

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)