Глава 7. ОЦЕНКА ЗНАЧЕНИЙ ФАКТОРОВ

7.1. Введение

В предыдущих главах мы имели дело почти исключительно с решением вопроса о числе и природе простых факторов и о получении нагрузок на факторы по переменным. Эта проблема составляет основу факторного анализа, в то же время иногда хотелось бы на практике сделать и следующий шаг: найти уравнения, из которых можно было бы оценить значения гипотетических факторов из выборки для наблюдаемых переменных. Эта проблема и будет сейчас рассмотрена.

7.2. Регрессионный метод с некоррелированными факторами

Начнем с предположения, что факторы некоррелированы и что каким-либо методом оценены нагрузки и остаточные дисперсии, образуя матрицы и («крышка» сверху здесь опускается). Значит, оценена и ковариационная матрица С для

Для данного множества наблюдений переменных мы, очевидно, не можем в обычном статистическом смысле оценить значения факторов остатков ей так как число гипотетических переменных превышает число наблюдаемых переменных. Мы можем, однако, найти линейную функцию от которая в некотором смысле обеспечивает разумные оценки

Если бы истинные значения были бы известны, мы могли бы заменить их оценками минимизируя для каждого значения сумму квадратов

где 2 обозначает сумму по выборке. Так как является линейной функцией то этот метод «наименьших квадратов» будет не что иное, как оценка линейной регрессии по Коэффициенты линейной регрессии можно получить через ковариации между и дисперсии и ковариации Первые нельзя рассчитать обычным образом, но кажется разумным использовать как оценки для них элементы вектора

являющегося строкой в

Для дисперсий и ковариаций мы используем матрицу С. Оценки для задаются тогда равенствами

где вектор-столбец из элементов Эти равенства могут быть записаны в виде

или

где

Поскольку ковариационная матрица для является единичной матрицей порядка то для оценок (пренебрегая выборочными ошибками в ковариационная матрица такая:

Корреляционная матрица для ошибок оценок равна

Этот метод впервые был предложен Томсоном (см. Thomson, 1951, и приводимую там литературу) и назван регрессионным методом. С незначительным усовершенствованием его можно также использовать и в случае коррелированных факторов,