4.5. Критерий значимости

В компонентном анализе, особенно если сравнительно велико, обычно вычисляются только несколько, скажем первых собственных значений и векторов. Этот процесс можно разумно оборвать, когда уже найдены компоненты, удовлетворительно объясняющие большую долю полной дисперсии. Однако критерий, предложенный Бартлеттом (Bartlett, 1951, 1954), разработан лишь для проверки гипотезы о том, что истинные значения наименьших собственных чисел равны между собой. Если эта гипотеза верна, то каждая линейная функция

удовлетворяющая условию

и некоррелированная с имеет ту же истинную дисперсию. Тогда нет определенного решения при максимизации дисперсий и эти переменные, если требуется, можно выбрать любым способом, удовлетворяющим соотношениям ортогональности (4.3).

Рассмотрим сначала относительно простой случай гипотеза состоит в том, что истинные значения

всех собственных чисел одинаковы. Если мы проверяем значимость по разностям между собственными числами ненормированной выборочной ковариационной матрицы А, то соответствующий критерий:

Для умеренно больших значений (и нормально распределенных критерий распределен приближенно как степенями свободы. С другой стороны, если все переменные нормированы, то ковариационная матрица на деле заменяется корреляционной матрицей

Критерий тогда изменяется на

и имеет приближенно распределение степенями свободы.

Предположим теперь, что собственных чисел учтены и что мы хотим проверить значимость разностей между оставшимися числами (мы предполагаем, что Для ненормированной ковариационной матрицы используется приближенный -критерий:

где

С достаточной точностью можно принять равным

хотя есть некоторое основание (Lawley, 1956), что приближение немного улучшится, если значение критерия увеличить на

Число степеней свободы в этом случае равно

В соответствующем критерии для нормированного случая, когда А заменяется на возникают значительные трудности. Предложен критерий

где теперь равно

К несчастью, даже в пределе, когда этот критерий не имеет точно -распределения. Поэтому мы можем взять множителем просто более точные значения едва ли оправданы.

Математическое ожидание критерия (4.10), которое можно рассматривать как действительное число степеней свободы для представляет, вообще говоря, некоторое сложное выражение. Однако если вычитаемые собственные значения составляют сравнительно большую долю суммарной дисперсии, можно приближенно взять , что совпадает с числом степеней свободы в ненормированном случае.

Чтобы проиллюстрировать применение критериев, включающих мы воспользуемся данными нашего числового примера. Если вначале мы проверяем значимость разностей между всеми пятью собственными значениями, то и

Тогда из (4.8) получим значение для равное 72,2, с 10-ю степенями свободы. Это число высоко значимо для отклонения гипотезы о равенстве всех

Так как первые два собственных числа много больше остальных, исключим их и проверим значимость разностей между тремя наименьшими числами. В этом случае Выражение (4.10) дает тогда для значение 12,5. Если

число степеней свободы мы возьмем равным то это значение выше 5% уровня значимости.

Упражнения

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)