Глава 6. ОЦЕНКА ФАКТОРНЫХ НАГРУЗОК ПРИ РАЗНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯХ

6.1. Введение

В параграфах 5.4 и 5.5 последней главы были даны приближенные методы оценки нагрузок, когда заранее постулированы места нулевых нагрузок. В этой главе будут описаны эффективные методы для этого же случая. Возникающие при этом проблемы впервые рассматривались Андерсоном и Рубином (Anderson, Rubin, 1955) и Хау (Howe, 1955), но здесь они приводятся в трактовке одного из авторов (Lawley, 1958).

За параграфами, где исследуется проблема оценивания для некоррелированных и коррелированных факторов, следует один параграф, в котором выводится критерий значимости остаточной матрицы.

Предполагается, что исследователь, прежде чем начать этот анализ имеющихся данных, уже получил приближенные оценки либо методом, описанным в последней главе, либо из более раннего анализа подобных данных.

6.2. Уравнения оценок для некоррелированных факторов

Основная факторная модель и обозначения те же, что и в гл. 2, но, как было замечено выше, некоторые из теперь предполагаются равными нулю. Будем называть их нуль-нагрузками. Оценки макси мального правдоподобия снова получаются максимизацией выражения (2.3) относительно неизвестных параметров. Как прежде, представляет умноженный на элемент строки столбца матрицы но в данном случае элементы

ее приравниваются нулю только для тех для которых не есть нуль-нагрузка. Это равносильно тому, что элементы матрицы

соответствующие по положению ненулевым элементам матрицы приравниваются нулю.

Как и в гл. равна диагональному элементу матрицы умноженному на Следовательно, вторая группа уравнений для получения оценок такая же, как и прежде, так что имеем

В таком виде эти уравнения не годны для практического решения, но их можно преобразовать. С этой целью опустим «крышку» и через будем обозначать Умножим справа на V равенство (6.1), помня, что Получим

где симметричная матрица порядка

Так как V — диагональная, то имеет нули там же, где и Следует заметить, что ввиду свойств диагональные элементы К должны равняться нулю. Недиагональные элементы К, однако, не обязательно нули, но об этом подробнее будет сказано позднее.

Чтобы упростить (6.2), мы сначала умножим матрицу, стоящую в левой части, справа на Диагональные элементы по-прежнему нули, и ввиду того, что мы найдем, что

где I — единичная матрица, в данном случае порядка Умножение слева на V приводит к уравнению

За исключением частных случаев, это не приводит к обычным оценкам остаточных дисперсий; диагональные элементы С, вообще говоря, не равны соответствующим элементам А. Уравнения (6.3) и (6.5) такие же, хотя и в других обозначениях, как у Хау (Howe), и последующее обсуждение их практического решения имеет много общего с его статьей, хотя отдельные моменты даны здесь более выпукло.

Рассмотрим для примера семь переменных, зависящих от трех простых факторов. Через обозначим ненулевые нагрузки и предположим, что схема их расположения следующая:

Заметим, что переменные, в которых второй фактор имеет ненулевые нагрузки, имеют ненулевые нагрузки и на первый фактор. Простое исследование положения нулей в показывает, что

Проводя аналогичное рассмотрение первого и третьего факторов, также установим, что При сочетании же второго и третьего факторов переменные, в которых один из факторов имеет ненулевые нагрузки, не являются частью тех, в которых имеет ненулевые нагрузки другой фактор. Следовательно, не обязательно равны нулю. Это единственные ненулевые элементы К.

Обозначим теперь три строки V по порядку и Тогда в этом примере из (6.3) следует, что элементы и 13 равны соответствующим элементам по каждой вектор-строке отдельно, где

Это, как увидим, приводит к итерационному методу решения уравнений для оценок. Для вычислительных

целей заметим, что, как и в гл. 2, матрица имеет вид

и аналогично

где Требуемые вычисления более утомительны, чем в обычном методе максимального правдоподобия, поскольку в каждой итерации необходимо обращать, вообще говоря, недиагональную матрицу порядка

Предположим теперь, что схема нагрузок имела вид

Как и раньше, единственный ненулевой элемент К, но теперь можно не брать в расчет вклады от так как между нагрузками второго и третьего факторов не существует «связующего мостика», т. е. нет переменного, в котором оба фактора имели бы ненулевые нагрузки. В этом случае ненулевые элементы равны соответствующим элементам

Таким образом, для подобных схем нагрузок уравнения, выводимые из (6.3), можно упростить, опуская члены в К, причем (6.5) можно упростить до давая обычные оценки остаточных дисперсий. Для таких случаев Хау (Howe) рекомендует итеративную процедуру типа Гаусса — Зейделя, которая не будет, однако, здесь описана. Этот метод очень трудоемок, но привлекает тем, что дает более быструю сходимость, чем другие методы.

Следует заметить, что для обеих схем, данных выше, нагрузки определяются однозначно, поскольку в каждом случае любое ортогональное преобразование факторов нарушит расположение нулей.