4.4. Вычисление весов

В настоящее время собственные значения и собственные векторы матриц обычно вычисляются на Известно несколько разных методов их вычисления, и программист, вероятно, выберет наиболее пригодный для его машины. Метод, применяемый здесь, был дан Хотеллингом и приводится ниже для иллюстрации основной схемы этого анализа.

Воспользуемся корреляциями между пятью психофизическими измерениями по выборке в 123 индивидуумов (см. табл. 4.1).

Выберем пробный вектор и, чтобы начать вычисления, и умножим на него слева корреляционную матрицу За элементы можно взять любые числа, но часто оказывается, что значения элементов и, приблизительно пропорциональные суммам элементов каждого столбца матрицы, дают достаточно хорошую начальную аппроксимацию; так что мы возьмем значения 11 такими: [0,9; 0,9; 1,0; 1,0; 0,7].

В этом примере оказалось очень плохой аппроксимацией из-за наличия нескольких отрицательных корреляций, и в результате итерационный процесс неоправданно долго сходился. Два элемента в конце концов меняют знак.

Таблица 4.1 (см. скан) Матрица корреляций для пяти психофизических измерений

Сначала находим

Наибольший элемент равен 1,498. Деля на него все элементы получим новый пробный вектор, который обозначим через

Умножая слева на этот вектор, получим

Когда каждый элемент этого вектора разделится на наибольший элемент, равный 1,457, получим новый пробный вектор

Этот процесс продолжается до тех пор, пока элементы вектора сойдутся к стационарным значениям. В нашем случае эти значения такие:

Наибольший элемент равен теперь 1,757. Это первое собственное значение матрицы и мы получим первый собственный вектор и после деления на это значение:

Теперь, умножая на число получим первый столбец матрицы Скалярное произведение Следовательно, это число будет равно и первый столбец

Эти вычисления можно проконтролировать, проверив равенство

Чтобы получить второе собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы нужно рассчитать остаточную матрицу, исключая влияние первой главной компоненты. Она равна и приведена в табл. 4.2.

Таблица 4.2 (см. скан) Первая остаточная матрица

Теперь можно выбрать «первоначальные» значения элементов второго собственного вектора и и повторить тот же самый процесс, которым пользовались для нахождения и.

Пять собственных значений и соответствующих собственных векторов матрицы даны в табл. 4.3.

Таблица 4.3 (см. скан)Собственные значения и векторы для

Сумма собственных значений равна 5, что равно следу матрицы

Таблица 4.4 (см. скан)

В табл. 4.4 показана матрица весов для всех пяти компонент, получаемых из векторов табл. 4.3 умножением на числа (столбцы соответствуют строкам табл. 4.3).

Контроль вычислений производится проверкой равенства Для ускорения сходимости этого

процесса были предложены различные методы. Смотри, например, работу Эйткена (Aitken, 1937).

Для нашего примера равенства (4.1) можно теперь записать подробнее. Так,

Наоборот, значения компонент можно выразить через значения переменных. Так,

где 1,757 — наибольшее собственное значение,