Приложение I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

В этом приложении мы приведем те определения и результаты матричной алгебры и теории определителей, которые требуются для понимания этой книги.

Для доказательства отдельных теорем читателю рекомендуется обращаться к обычным учебникам по этим вопросам.

Прямоугольная таблица чисел, или элементов, размещенных в строках и столбцах, есть матрица А. Полностью она записывается как

Сокращенная запись где . В этой книге мы ограничиваемся матрицами с элементами, являющимися действительными числами. Для обозначения матриц пользуемся заглавными полужирными буквами. Их элементы обозначаются соответствующими строчными буквами с индексами, указывающими место в матрице.

Сумма двух матриц с одним и тем же числом строк и столбцов есть матрица

Произведение матрицы на действительное число (или скаляр) X есть

Если произведение обозначается как —А. Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой нули. Если А — нулевая, мы пишем:

Можно проверить, что для этих операций справедливы равенства

Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то можно определить произведение Предположим, что порядка порядка . Тогда является матрицей порядка Элемент с, стоящий в строке и столбце матрицы С, равен

т. е. сумме произведений соответствующих элементов строки матрицы столбца матрицы В.

Произведение может не иметь смысла, даже когда существует. Оба произведения могут существовать одновременно тогда лишь, когда А порядка и В порядка . В этом случае есть квадратная матрица порядка а квадратная матрица порядка Даже когда и матрицы квадратные, легко показать, что, вообще говоря,

Следовательно, мы должны различать умножение слева и умножение справа. В АВ, например, А умножается справа на В, в то время как В умножается слева на А.

Если матрицы порядков соответственно, то можно найти произведение и умножить его справа на С. Результат можно записать как

Также можно найти затем умножить слева на А и получить матрицу

Из определения умножения матриц легко показать, что

Отсюда каждое из этих произведений матриц можно обозначить как без скобок. Аналогичные результаты остаются верными и для большего числа матриц.

При нахождении таких произведений важно лишь, чтобы сохранялся правильный порядок матриц. Для квадратной матрицы А удобно писать: д.

Укажем также, что матричное произведение удовлетворяет равенствам

Таким образом, матрицы удовлетворяют всем обычным законам элементарной алгебры, кроме коммутативности умножения.

Транспозиция матрицы есть матрица Следовательно, элемент в строке и столбце матрицы А равен элементу в строке и столбце матрицы А. Транспонирование обладает свойствами

В транспозиции произведения более чем двух матриц транспонированные матрицы умножаются в обратном порядке. Так что д.

Матрицы, содержащие лишь одну строку или один столбец, называются векторами. Для их обозначения используются полужирные строчные буквы. Для точности условимся писать штрих у буквы, если подразумевается вектор-строка, и не писать штрих, если имеется в виду вектор-столбец. Так, например,

В тех случаях, когда необходимо выписать вектор, столбец полностью, его элементы располагаются для удобства горизонтально, но, чтобы обозначить, что имеется в виду вертикальное расположение, используются фигурные скобки.

Например,

Матрица порядка 1X1, которая содержит всего один элемент, является просто скаляром. Она может получиться в результате умножения справа вектор-строки на вектор-столбец с тем же числом элементов.

Например, взяв х и у, написанные выше, получим

Эту величину часто называют скалярным произведением двух векторов.

С этого момента, если не оговорено противное, мы будем рассматривать квадратные матрицы одного порядка которые можно складывать и умножать по желанию, и векторы порядка

Матрица А называется симметричной, если или Это означает, что симметричная матрица имеет, вообще говоря, различных элементов.

Большой интерес представляет единичная матрица Все ее диагональные элементы — единицы, а остальные — нули. Если важно подчеркнуть порядок такой матрицы, мы пишем но обычно индекс опускается. Единичная матрица удовлетворяет равенствам

Матрица I является частным случаем диагональной матрицы, т. е. матрицы, у которой все элементы вне диагонали равны нулю.

Для любой квадратной матрицы А можно найти число, обозначаемое или и называемое определителем А, по формуле

где сумма членов берется по всем перестановкам, чисел

Знак или выбирается для каждого члена соответственно тому, четная или нечетная перестановка Чтобы объяснить термины «четный» и «нечетный», заметим, что числа в естественном порядке можно привести к другому порядку путем некоторого числа последовательных транспозиций, где транспозиция означает, что два числа меняются местами.

Определенную перестановку а, ( можно получить многими различными последовательностями транспозиций, но можно показать, что необходимое число транспозиций либо всегда четное, либо всегда нечетное. Знак соответствующего члена в сумме будет если число четное, и если число нечетное.

Можно показать, что

и что

Если матрица А диагональная, то

Подматрицей А будем называть матрицу, полученную удалением некоторого числа строк и столбцов из

А. Минор — это определитель квадратной подматрицы матрицы А. Минор элемента означает определитель подматрицы, полученной удалением строки и столбца матрицы А.

Алгебраическое дополнение (или кофактор) к обозначаемое равно минору элемента умноженному на Можно показать, что

Если то А называется вырожденной.

Предположим, что невырожденная, и определим матрицу где

Тогда предыдущие равенства можно переписать как

Эти уравнения выражают простое матричное соотношение

Матрица называется обратной к А. Она существует и однозначно определена, если А невырожденная. Так как

то

Легко показать, что Если невырожденны, то существует и равно Это так, поскольку

Аналогично, если невырожденны, то

Правило нахождения обратной для произведения любого числа матриц такое: обратные матрицы нужно перемножить в обратном первоначальному порядке.

Если диагональная матрица с элементами то матрица тоже диагональная с элементами

Когда не превышает трех, формулы (1) и (2) пригодны для вычисления соответственно. Для вычисление алгебраических дополнений сопровождается слишком большими трудностями счета

и становятся необходимы другие, более удобные методы. Некоторые из них будут описаны позднее.

Алгебраическое дополнение можно рассматривать как частную производную по Если все элементы А являются функциями от то частная производная от по равна

Если А симметрична, то, так как для получим Предположим, что Так как содержит элемент мы можем говорить об алгебраическом дополнении Такие алгебраические дополнения являются множителями при в разложении в сумму, аналогичную (1), и обозначаются Так что

Результат, который используется в гл. 2 и является частным случаем теоремы Якоби, гласит

Для системы линейных уравнений обозначения матричной алгебры особенно хороши. Набор уравнений

неизвестными переменными можно переписать в сжатой форме как

где вектор-столбцы, есть матрица. Предположим, что А невырожденна и известна. Умножая уравнение на слева, получим решение уравнений в виде

и покажем, что оно единственно.

Векторы называются линейно независимыми, если не существует чисел не все из которых равны нулю, таких, что

Прямоугольная или квадратная матрица А имеет ранг если максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) равно Эквивалентно: ранг А равен если каждый минор порядка матрицы А равен нулю и по крайней мере один минор порядка отличен от нуля.

Часто нужно преобразовывать одно множество переменных или координат в другое — Вообще говоря, преобразование от к у и обратное преобразование от у к представляются соответствующими уравнениями:

Во многих случаях как так и у представляют прямоугольные, или ортогональные, координаты. Оба преобразования и матрица, определяемая ими, называются тогда ортогональными. Ортогональная матрица А удовлетворяет равенству

так что

Отсюда видно, что ортогональное преобразование представляется в виде

Это означает, что

Геометрически это означает, что квадрат расстояния от точки до начала координат остается неизменным при замене координатных осей.

Для ортогональной матрицы А

и, следовательно, Знак можно сделать всегда плюсом, изменив, если необходимо, знаки элементов какой-нибудь строки или столбца. Такое изменение знаков не влияет, очевидно, на ортогональность А.

Любая ортогональная матрица порядка 2 (с определителем имеет вид

Это преобразование координат от представляет поворот на угол

Рассмотрим квадратичную форму

где симметричная матрица. Квадратичная форма и матрица А называются положительно определенными, если для любого ненулевого вектора

(Если знак заменить на знак то они называются неотрицательно определенными.)

Собственное значение или собственное число (часто говорят характеристическое число) матрицы А — это число удовлетворяющее

уравнению степени относительно Предположим, что собственные значения не равны нулю, различны и упорядочены по величине. Значению соответствуют вектор-столбец и вектор-строка удовлетворяющие равенствам

Эти векторы называются собственными векторами матрицы А и определяются с точностью до числового множителя. Если А симметрична, то, транспонируя первое из этих двух равенств, покажем, что собственная вектор-строка является просто

транспозицией собственного вектор-столбца. Для удобства можно выбрать масштаб каждого так, чтобы и тогда

При тех же предположениях о что и выше, вектор определяется однозначно, кроме возможного изменения знака. Можно также показать, что для

Из этих уравнений видно, что, когда А симметрична, можно найти ортогональную матрицу столбец которой является собственным вектором, так, чтобы матрица

была диагональной. Элементы являются собственными значениями . О получении численных выражений собственных векторов и собственных значений смотри гл. 4.

Взяв определитель матрицы в (6), получим

и, следовательно,

Умножив (6) справа на и слева на найдем, что

и обратная к ней матрица равна

Последнее равенство можно использовать для нахождения обратной матрицы, когда известны собственные значения и собственные векторы этой матрицы.

Рассмотрим теперь ортогональное преобразование, определяемое равенствами

Преобразуя квадратичную форму получим

Если квадратичная форма и матрица А положительно определены, то для всех и наоборот.

Предположим, что А есть матрица и что матрица. Тогда можно доказать, что собственные значения такие же, как и у кроме некоторого числа нулей, когда Это означает, что собственные значения такие же, как и у исключая, быть может, некоторое число единиц. Отсюда

Этот результат используется в гл. 2.

След матрицы А, обозначаемый есть сумма ее диагональных элементов. Очень легко проверить, что

Последнее равенство справедливо и тогда, когда прямоугольные и существуют оба произведения. Из уравнения (5) можно увидеть, что сумма собственных значений матрицы А равна Этот результат можно получить, взяв след матрицы в (6), так как

Предположим, что матрица такая, что если т. е. такая, что элементы над диагональю равны нулю. Тогда называется нижней треугольной матрицей. Так как имеет нулевые элементы под диагональю, то она называется верхней треугольной матрицей. Произведение двух нижних треугольных матриц — также нижняя треугольная матрица. То же верно и для верхних треугольных матриц.

Определитель равен

Обратная матрица которая также является нижней треугольной матрицей, может быть легко найдена приравниванием соответствующих элементов из левой и правой частей равенства

Для диагональных элементов получим

и для недиагональных элементов

Последнее уравнение можно представить в виде

Уравнения (8) и (9) позволяют нам вычислять последовательно (предполагая

Обращение матрицы большого порядка в настоящее время осуществляют обычно на ЭЦВМ. Для матриц небольшого порядка обращение можно вполне хорошо провести на настольной вычислительной машинке. Мы вкратце обсудим некоторые методы, которые удобны для этой цели. Можно предположить без потери общности, что матрица, которую мы хотим обратить, симметричная.

Действительно, если А несимметричная, то можно обратить симметричную матрицу и затем найти Один путь обращения матрицы использует метод Эйткена (Aitken, 1937); однако мы здесь опишем другой метод, который удобен практически для наших целей и использует свойства треугольных матриц.

В этой книге матрицы, требующие обращения, симметричны и положительно определены. Рассмотрим матрицу А такого типа. Выразим вначале А через нижнюю треугольную матрицу с положительными диагональными элементами

Это можно сделать, приравнивая соответствующие элементы. Для диагональных элементов А получим

а для недиагональных элементов имеем

Приведем эти уравнения к виду

Это позволяет нам вычислять последовательно (предполагая

Когда найдено методом, описанным ранее, обратная к А матрица дается формулой

Для определителя А имеется формула

Если А хотя и симметрична, но не положительно определена, то применять этот метод нельзя, так как

некоторые значения под знаком квадратного корня тогда отрицательны. Можно вместо этого представить А в форме где обе нижние треугольные матрицы и имеет на диагонали единицы.

Некоторые из диагональных элементов матрицы отрицательны. Причем столбец в такой же, что в лишь умноженный на Это, собственно говоря, метод Дулиттла

Достоинство обоих методов, особенно первого, состоит в том, что нужно записывать при расчетах очень мало чисел.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)