8.5. Числовой пример

Для иллюстрации вычислений использовались данные выборки по 205 мальчикам и выборки по 87 де вочкам со средним возрастом 11 лет при шести познавательных тестах: (1) Понятливость, (2) Подобие, (3) Лексика, (4) Полнота рисунка, (5) Конструирование из кубиков и (6) Рисунки-загадки. Ковариационные матрицы для этих переменных по мальчикам по девочкам и по тем и другим вместе приведены в табл. 8.1. Соответствующие степени свободы: — Для удобства вычислений каждая переменная нормирована так, что усредненная по двум выборкам дисперсия равна единице. Таким образом, в объединенной ковариационной матрице А на диагонали стоят единицы.

Выдвинута гипотеза, что в действительности имеется два коррелированных фактора и схема нагрузок следующая:

Приближенный анализ матрицы А был произведен вначале методом § 5.5. Это привело к следующим предварительным оценкам нагрузок:

Коэффициент корреляции между двумя факторами приближенно равен 0,80, и остаточные дисперсии оценены как

Итерационный процесс был начат с этих значений для Они были необходимы для первой итерации, чтобы начать оценку матриц факторных ковариаций по (8.10), (8.11) и (8.12). Эти оценки такие:

Таблица 8.1 (см. скан) Ковариационные матрицы шести переменных для мальчиков, для девочек и для тех и других вместе

Эти значения были использованы затем как и в (8.8) и (8.9) для получения улучшенных оценок нагрузок. В последующих итерациях вычисления от (8.8) до (8.13) выполнялись в заданном порядке.

В обоих факторах девочки имеют больший разброс, чем мальчики, но фактически, как будет показано позднее, значимо не различаются. Несмотря на это, для иллюстрации процесса получения оценок мы допустим, что матрицы в популяциях различны. Было проведено пять итераций, последняя из них дана в табл. 8.2. Оценки для и взяты из предыдущей итерации.

Когда производились эти вычисления, было удобно найти числа

Тогда задаются формулами

Матрицы нужны только при вычислении приближенным методом -критерия (8.14). Если бы это не было конечной итерацией, мы нашли бы более легко и просто без получения Ибо

где

Так, например, первый элемент верхней строки в можно вычислить как

(кликните для просмотра скана)

Хотя итерации и указывают на сходимость, некоторые из нагрузок, очевидно, не слишком близки к своим конечным значениям. Тем не менее кажется маловероятным, что следующие итерации существенно улучшат точность.

Для проверки гипотез, сделанных о факторах, у нас таким образом, число степеней свободы для равно 24. Было использовано приближение (8.15) и получено

Множитель для критерия (8.14) приближенно равен

0,979. Так что значение равно

Это не значимо.

Когда для проверки гипотезы использовался критерий (8.16), для было получено значение 2,54, которое при трех степенях свободы ниже ожидаемого. Следовательно, кажущееся различие между данными по мальчикам и девочкам не значимо.

Для экономии места число переменных в приведенном выше примере меньше, чем это имеет место на практике. Тем не менее факторы, полученные из них, имеют смысл. Первые три переменные известны как хорошо измеряющие познавательную способность вербального (или гуманитарно-словесного) типа, в то время как пятая переменная и в меньшей степени четвертая и шестая имеют отношение к способностям воспринимать и вызывать зрительные образы. Ввиду этого первый фактор может быть назван «гуманитарной одаренностью», а второй — «зрительным мышлением» («visualization»).

Оценка 0,8 (приблизительная) для корреляции между факторами выше ожидаемой; однако это могло случиться потому, что дети в нашем примере образуют особую группу, поскольку все они находились в психиатрической клинике.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)