5.2. Метод вращения факторов

Раньше было показано, что нагрузки, полученные из факторного анализа, когда число факторов больше единицы, не однозначны и можно получать другие эквивалентные множества нагрузок путем их ортогонального преобразования. Это часто используется, чтобы упростить результат анализа и сделать его

более осмысленным, даже если допускаются различные интерпретации для одних и тех же данных. Для иллюстрации процедуры вращения приведем пример.

Таблица 5.2 (см. скан) Факторные нагрузки для набора познавательных тестов

В табл. 5.2 даны нагрузки максимального правдоподобия для трех факторов, полученных из анализа коэффициентов корреляций между отметками 292 детей по 10 познавательным тестам. Названия тестов даны в таблице и более или менее объясняют их суть. Поскольку все корреляции были положительны, первый фактор без дальнейших обсуждений примем за фактор «общей одаренности». Однако, когда мы переходим к факторам интерпретация далеко не очевидна из-за относительно большого числа отрицательных и до некоторой степени малых нагрузок.

Это и хорошо; нужно более внимательно исследовать результаты и посмотреть, можно ли их объяснить.

Было бы идеальным взять трехмерную модель, где за три ортогональные оси взяты соответствующие факторы, а тестам соответствовали бы точки с координатами, равными нагрузкам этих тестов на факторы.

Рис. 5.2.

Как только эта модель построена, оси можно было бы временно забыть и сосредоточить внимание на положении точек относительно друг друга в пространстве. В результате исследования мы могли бы увидеть, что точки лежат одной компактной группой или, возможно, концентрируются в одном или двух октантах пространства. Если наблюдается один из этих случаев, то разумно закрепить оси так, чтобы как можно проще объяснить положения точек, используя как можно меньше параметров или нагрузок. Мы вынуждены удовлетвориться рассмотрением факторов попарно, так как трехмерная модель здесь не удобна; во всяком случае, модель будет совсем неудобной, когда число факторов больше трех. Можно построить три диаграммы, когда имеется три фактора, но

рассмотрим вначале лишь диаграмму для факторов

Исследование рисунка показывает, что если повернуть оси по часовой стрелке так, чтобы первый фактор прошел через точку 1, то все точки будут лежать в первом квадранте и все знаки нагрузок станут положительными. Обозначим факторы в этих новых положениях через ; очевидно, что все еще можно называть фактором «общей одаренности». Заметим, что точка 1, через которую проходит соответствует тесту «понятливости». Чтобы получить нагрузки на эти новые оси или факторы, первоначальная 10X2 матрица нагрузок для факторов умножается справа на ортогональную матрицу:

Угол можно определить либо замером на рис. 5.2, а, либо вычислением. Его значение — примерно 24°, и новые нагрузки на факторы и Поданы в табл. 5.3, а.

Таблица 5.3 (см. скан) Нагрузки на факторы после вращения

Следующие диаграммы можно построить, используя нагрузки на и

Так, на рис. дана диаграмма для факторов индексы которых указывают число вращений фактора. Опять очевидно, что, повернув оси против часовой стрелки, можно устранить почти все отрицательные нагрузки. (Можно устранить все за счет простого последующего вращения Здесь удобно фактор провести через точку 2, соответствующую «арифметическому» тесту, что может помочь в интерпретации этих новых факторов. Теперь необходимо вращение матрицы

Угол на рисунке равен примерно 46°, и новые нагрузки на факторы, обозначенные вместе с нагрузками на приведены в табл. Теперь у нас исключены почти все отрицательные знаки у нагрузок, и оказывается, что три ортогональные оси, соответствующие факторам, можно разместить так, чтобы точки-тесты включить в один октант факторного пространства. Однако мы тут же должны добавить, что другие положения осей, отличные (хотя, возможно, и немного) от приведенного здесь, могут также приводить к цели.

Теперь, освободившись от отрицательных знаков, мы можем рассмотреть новые нагрузки (табл. и понять, можно ли дать осмысленную интерпретацию этим факторам. Фактор с приемлемой степенью уверенности можно по-прежнему описывать как фактор «общей одаренности». Фактор имеет высокие нагрузки в последних пяти тестах. Групповое сходство между этими тестами, после того как устранено влияние фактора можно представлять как способность мыслить зрительными образами, так что третий фактор можно называть «зрительным фактором». Наивысшие нагрузки на фактор у тестов «счет» и «конструирование из кубиков». Так как последний не имеет отношения к числам, то неразумно рассматривать этот фактор только как одну из способностей

к числам и лучше всего определять как «механические знания» или даже «память».

Этот пример дает хорошую иллюстрацию обычного подхода к проблеме интерпретации факториальных исследований характера способностей. Очевидно, в этом много субъективного, и, следовательно, разные исследователи могут интерпретировать одни и те же данные по-разному. Однако эта естественная возможность, вообще говоря, нежелательна, и, чтобы избежать ее, предлагались разные эмпирические приемы для вращения факторов, которые приводили бы в некотором выбранном смысле к однозначности результатов (Thurstone, 1954; Kaiser, 1958). Мы не будем их рассматривать, но опишем взамен другие методы, которые кажутся перспективными и позволяют исследователю проверить гипотезу о факторном согласии его данных, не используя метода вращения.