6.8. Критерии значимости

Теперь мы обсудим получение удовлетворительных критериев для проверки гипотез, выдвинутых в предыдущих параграфах о том, что переменных зависят ровно от либо коррелированных, либо некоррелированных простых факторов, и что некоторые вполне определенные нагрузки равны нулю. Утверждение в начале § 2.6 все еще остается в силе, и критерий Для больших выборок, полученный из отношения правдоподобия, задается выражением (2.12). Процесс вычисления его требует усовершенствования, да и число степеней свободы для не такое, как прежде. Мы надеемся получить -приближение как в гл. 2, заменой в (2.12) на подходящий множитель, хотя то, что это поможет, является до некоторой степени догадкой. По-видимому, лучше использовать значение, которое корректно для Следовательно,

критерий можно взять таким:

где

Для оценок максимального правдоподобия мы найдем как для коррелированных, так и некоррелированных факторов, что

Отсюда и выражение (6.12) можно, как и прежде, упростить:

С этого момента удобнее обсуждать процедуры для двух случаев отдельно.

Предположим вначале, что факторы некоррелированы. Если оценки максимального правдоподобия были получены точно или почти точно, то значение можно найти из (6.13). Значение вычисляется из (2.16). Если же уравнения решены не точно, то нужно пользоваться выражением (6.12). Для упрощения вычислений заметим, что

что ведет к

где значит,

Матрица вычисляется, конечно, в каждой итерации.

Когда умеренно велико, для можно воспользоваться простой аппроксимацией. Имеем

где

Диагональные элементы X равны нулю, а недиагональные при большом малы. Таким образом, если раскрыть сохраняя только члены второго порядка по то в качестве приближенного критерия для (6.13) получим выражение

Матрица подобна обычной остаточной матрице, но не симметрична. Описанный здесь метод проще, чем непосредственное использование остатков.

Если число ненулевых нагрузок, которое допустимо для однозначного определения, то число степеней свободы для равно

В случае коррелированных факторов все еще применимы те же результаты, кроме небольшого числа простых изменений. Поскольку С задается как то теперь

Выражение для такое же, как и раньше, если определить теперь как какой она и появляется теперь в итерациях. Приближенный критерий (6.14) вычисляется также, как прежде. Поскольку мы оцениваем факторные коэффициенты корреляции то число степеней свободы уменьшается на и становится равным

Были вычислены значения для анализированных пред этим данных, хотя проверка значимости и не является здесь на самом деле оправданной. У нас Для некоррелированных факторов число ненулевых нагрузок равно 17,

так что число степеней свободы равно 11. Пользуясь оценками нагрузок, полученными на настольной вычислительной машинке приближенным методом, было найдено значение равное 5,0. Когда были использованы точные оценки и выражение (6.13), то значение уменьшилось до 4,1. В каждом случае значение много ниже ожидаемого и приводит к принятию гипотезы. Это заключение не удивительно, так как, как уже было замечено, гипотезы были выдвинуты только после предварительного анализа этих данных. Для коррелированных факторов значение по-прежнему было приблизительно 5,0, но теперь и число степеней свободы равняется 10.

6.9. Резюме и выводы

В этой главе мы показали, что для различных гипотез можно решить численно уравнения для оценок максимального правдоподобия и проверить гипотезы. Однако очевидно, что при использовании настольных вычислительных машинок необходимая затрата труда будет очень быстро возрастать при увеличении числа факторов. При ЭЦВМ становится почти необходимостью, если требуется точное решение, так как сходимость итеративных процессов обычно очень слабая. С другой стороны, кажется правдоподобным, что на деле небольшое число итераций будет достаточно, чтобы получить вполне хорошее приближение и иметь возможность удовлетворительной проверки значимости сделанных гипотез.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)