ГЛАВА I. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА

1. Множества и их мощность.

При применении математического анализа в современном естествознании большую роль играют различные понятия интеграла, и в первых двух главах мы изложим теорию интегрирования в более общем виде, чем это мы делали раньше. Предварительно в настоящем параграфе приведем некоторые первоначальные сведения из теории множеств. Они являются некоторым дополнением к тому, что мы излагали в [IV; 15].

Пусть имеются два множества и состоящие из каких-либо объектов (элементов). Говорят, что два множества имеют одинаковую мощность, если между элементами, входящими в и элементами, входящими в можно установить биоднозначное соответствие, т. е. такое соответствие, при котором каждому элементу из сопоставляется определенный элемент из причем в этом соответствии, наоборот, каждый элемент сопоставлен одному, и только одному, элементу . Бесконечное множество (т. е. множество, содержащее бесконечное число элементов) называется исчислимым, или счетным, если оно имеет ту же мощность, что и множество всех целых положительных чисел, т. е. если элементы этого множества можно пронумеровать целыми положительными числами: Два счетных множества имеют одинаковую мощность. Выясним некоторые свойства счетных множеств. Рассмотрим часть счетного множества, содержащую бесконечное множество элементов где возрастающая последовательность целых положительных чисел. Элементы этого нового множества также пронумерованы. Номером каждого элемента является значок . Иначе говоря, они пронумерованы в порядке возрастания значков Таким образом, бесконечная часть счетного множества есть счетное множество. Рассмотрим теперь два счетных множества: состоящее из элементов состоящее из элементов составим их сумму, т. е. объединим в одно множество С элементы, входящие в оба указанных выше множества. Полученное таким образом новое множество С называется обычно суммой множеств А и В. Это новое множество также счетно. Действительно, достаточно, например, поставить элементы множества С в следующем порядке:

чтобы убедиться в счетности его. Если имеются одинаковые элементы то надо удержать один из них, а остальные вычеркнуть. Аналогичное рассуждение применимо и для суммы конечного числа счетных множеств, т. е. сумма конечного числа счетных множеств есть счетное множество.

Положим, что имеется счетное множество счетных множеств. Элементы всех этих множеств можно обозначить буквой с двумя целочисленными индексами Верхний индекс указывает номер того множества, к которому принадлежит элемент, а нижний — тот номер, который указанный элемент имеет в том счетном множестве, к которому он принадлежит. Нетрудно пронумеровать все элементы . В качестве первого элемента возьмем тот элемент, у которого оба индекса равны единице: Возьмем затем те элементы, у которых сумма индексов есть три, и расположим в порядке возрастания верхнего индекса. Таким образом, мы получим второй и третий элементы суммы множеств: Возьмем теперь те элементы, у которых сумма индексов равна четырем, и расположим их в порядке возрастания верхнего индекса: . Это даст нам четвертый, пятый и шестой элементы суммы множеств. Продолжая это построение, мы убеждаемся в том, что сумма счетного числа счетных множеств есть счетное множество. Это утверждение, очевидно, осталось бы в силе, если некоторые из слагаемых множеств были бы не счетными, а конечными множествами.

Пусть имеется некоторое бесконечное множество А. Выберем из него какой-нибудь элемент и припишем ему номер один. Оставшееся множество по-прежнему будет бесконечным. Выберем из него какой-нибудь элемент и припишем ему номер два. Продолжая так и дальше, мы видим, что из всякого бесконечного множества можно выделить счетное множество. Оставшееся после такого выделения множество может быть или пустым, т. е. не содержащим ни одного элемента, или конечным, или бесконечным. Покажем, что если это оставшееся множество бесконечно, то оно имеет ту же мощность, что первоначальное множество, т. е. справедливо следующее утверждение: если после выделения из бесконечного множества А счетного множества Р остается бесконечное множество В, то множества А и В имеют одинаковую мощность. Выделим из бесконечного множества В вновь некоторое счетное множество и пусть С — оставшееся множество. При этом первоначальное множество А разобьется на три множества из которых множество С может быть и пустым, а может быть и бесконечным, а множества Р и Q суть счетные множества. До второго выделения мы имели . Нетрудно установить биоднозначное соответствие между элементами А и В. Действитёльно, мы имеем . Сумма счетных множеств есть счетное множество, и, следовательно, между элементами и Q можно

установить биоднозначное соответствие. Каждый элемент множества С приведем в соответствие самому себе. Таким образом, и будет установлено биоднозначное соответствие между элементами А и В. Из доказанного утверждения непосредственно вытекает, что если к бесконечному множеству добавить счетное множество, то вновь полученное множество будет иметь ту же мощность, что и первоначальное множество. Оба утверждения о вычитании и добавлении счетного множества остаются в силе, если счетное множество заменить конечным. Доказательство приводится совершенно так же, как и выше.

Мы показали раньше [IV; 15], что множество рациональных чисел, принадлежащих некоторому промежутку или множество всех рациональных чисел есть счетное множество. Это доказывается совершенно так же, как и утверждение о счетности суммы счетного числа счетных множеств. Роль верхнего индекса играет числитель дроби, а роль нижнего индекса — ее знаменатель, причем сначала надо рассмотреть положительные дроби. Приведем теперь пример несчетного множества. Рассмотрим все вещественные числа, принадлежащие промежутку [0,1]. Каждое из них, кроме нуля, мы можем представить бесконечной десятичной дробью с целой частью, равной нулю, и наоборот каждой такой десятичной дроби будет соответствовать некоторое вещественное число из указанного промежутка. Конечными дробями мы не пользуемся, так как конечная дробь дает то же число, что и бесконечная, имеющая в периоде 9, например 0,37 = 0,36999... Покажем, что множество упомянутых вещественных чисел несчетно. Ведем доказательство от обратного. Положим, что все указанные десятичные дроби совместно с дробью дающей левый конец промежутка, можно пронумеровать. Составим новую десятичную дробь с целой частью, равной нулю, следующим образом. В качестве первого десятичного знака возьмем какую-нибудь цифру, отличную от первого десятичного знака первой из пронумерованных десятичных дробей, в качестве второго десятичного знака возьмем какую-нибудь цифру, отличную от второго десятичного знака второй из пронумерованных дробей, и т. д. Получится бесконечная десятичная дробь (цифрой 0 при составлении десятичных знаков новой десятичной дроби мы пользоваться не будем), которая отлична от всех пронумерованных десятичных дробей. Таким образом, соответствующее ей вещественное число не пронумеровано, а это противоречит тому, что все вещественные числа из промежутка [0,1] пронумерованы. Таким образом, мы показали, что множество всех вещественных чисел, принадлежащих промежутку [0,1], несчетно. Говорят, что это множество имеет мощность континуума. Нетрудно видеть, что множество вещественных чисел, принадлежащих любому конечному промежутку имеет ту же мощность, что и множество вещественных чисел, принадлежащих промежутку [0, 1]. Биоднозначное соответствие между элементами этих множеств

устанавливается формулой Когда пробегает промежуток переменное у пробегает промежуток [0, 1]. Если использовать формулу при изменении внутри промежутка [0,1] переменная у пробегает множество всех вещественных чисел, т. е. множество всех вещественных чисел также имеет мощность континуума. Если концы промежутка мы не будем причислять к множеству, то это не изменит его мощности, так как добавление или вычитание из бесконечного множества конечного множества не меняет его мощности.

В дальнейшем замкнутый промежуток мы будем обозначать символом а открытый промежуток, т. е. промежуток, к которому не присоединяются концы, символом Если левый конец не присоединяется, а правый присоединяется, то будем пользоваться символом аналогичное значение имеет Числа а и b могут принимать и бесконечные значения: т. е. рассматриваемые промежутки могут быть бесконечными налево и направо. Например, замкнутый промежуток содержит оба бесконечно далеких элемента. В соответствии с этим и функция может быть определена при и мы можем, например, писать . Непрерывность при равносильна условию . Аналогично и для

Кроме того, можно пользоваться и обычными обозначениями .

Нетрудно показать [I; 43], что функция конечная и непрерывная в замкнутом промежутке , равномерно непрерывна в этом промежутке.