Главная > Курс высшей математики, Т.5.
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА I. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА

1. Множества и их мощность.

При применении математического анализа в современном естествознании большую роль играют различные понятия интеграла, и в первых двух главах мы изложим теорию интегрирования в более общем виде, чем это мы делали раньше. Предварительно в настоящем параграфе приведем некоторые первоначальные сведения из теории множеств. Они являются некоторым дополнением к тому, что мы излагали в [IV; 15].

Пусть имеются два множества и состоящие из каких-либо объектов (элементов). Говорят, что два множества имеют одинаковую мощность, если между элементами, входящими в и элементами, входящими в можно установить биоднозначное соответствие, т. е. такое соответствие, при котором каждому элементу из сопоставляется определенный элемент из причем в этом соответствии, наоборот, каждый элемент сопоставлен одному, и только одному, элементу . Бесконечное множество (т. е. множество, содержащее бесконечное число элементов) называется исчислимым, или счетным, если оно имеет ту же мощность, что и множество всех целых положительных чисел, т. е. если элементы этого множества можно пронумеровать целыми положительными числами: Два счетных множества имеют одинаковую мощность. Выясним некоторые свойства счетных множеств. Рассмотрим часть счетного множества, содержащую бесконечное множество элементов где возрастающая последовательность целых положительных чисел. Элементы этого нового множества также пронумерованы. Номером каждого элемента является значок . Иначе говоря, они пронумерованы в порядке возрастания значков Таким образом, бесконечная часть счетного множества есть счетное множество. Рассмотрим теперь два счетных множества: состоящее из элементов состоящее из элементов составим их сумму, т. е. объединим в одно множество С элементы, входящие в оба указанных выше множества. Полученное таким образом новое множество С называется обычно суммой множеств А и В. Это новое множество также счетно. Действительно, достаточно, например, поставить элементы множества С в следующем порядке:

чтобы убедиться в счетности его. Если имеются одинаковые элементы то надо удержать один из них, а остальные вычеркнуть. Аналогичное рассуждение применимо и для суммы конечного числа счетных множеств, т. е. сумма конечного числа счетных множеств есть счетное множество.

Положим, что имеется счетное множество счетных множеств. Элементы всех этих множеств можно обозначить буквой с двумя целочисленными индексами Верхний индекс указывает номер того множества, к которому принадлежит элемент, а нижний — тот номер, который указанный элемент имеет в том счетном множестве, к которому он принадлежит. Нетрудно пронумеровать все элементы . В качестве первого элемента возьмем тот элемент, у которого оба индекса равны единице: Возьмем затем те элементы, у которых сумма индексов есть три, и расположим в порядке возрастания верхнего индекса. Таким образом, мы получим второй и третий элементы суммы множеств: Возьмем теперь те элементы, у которых сумма индексов равна четырем, и расположим их в порядке возрастания верхнего индекса: . Это даст нам четвертый, пятый и шестой элементы суммы множеств. Продолжая это построение, мы убеждаемся в том, что сумма счетного числа счетных множеств есть счетное множество. Это утверждение, очевидно, осталось бы в силе, если некоторые из слагаемых множеств были бы не счетными, а конечными множествами.

Пусть имеется некоторое бесконечное множество А. Выберем из него какой-нибудь элемент и припишем ему номер один. Оставшееся множество по-прежнему будет бесконечным. Выберем из него какой-нибудь элемент и припишем ему номер два. Продолжая так и дальше, мы видим, что из всякого бесконечного множества можно выделить счетное множество. Оставшееся после такого выделения множество может быть или пустым, т. е. не содержащим ни одного элемента, или конечным, или бесконечным. Покажем, что если это оставшееся множество бесконечно, то оно имеет ту же мощность, что первоначальное множество, т. е. справедливо следующее утверждение: если после выделения из бесконечного множества А счетного множества Р остается бесконечное множество В, то множества А и В имеют одинаковую мощность. Выделим из бесконечного множества В вновь некоторое счетное множество и пусть С — оставшееся множество. При этом первоначальное множество А разобьется на три множества из которых множество С может быть и пустым, а может быть и бесконечным, а множества Р и Q суть счетные множества. До второго выделения мы имели . Нетрудно установить биоднозначное соответствие между элементами А и В. Действитёльно, мы имеем . Сумма счетных множеств есть счетное множество, и, следовательно, между элементами и Q можно

установить биоднозначное соответствие. Каждый элемент множества С приведем в соответствие самому себе. Таким образом, и будет установлено биоднозначное соответствие между элементами А и В. Из доказанного утверждения непосредственно вытекает, что если к бесконечному множеству добавить счетное множество, то вновь полученное множество будет иметь ту же мощность, что и первоначальное множество. Оба утверждения о вычитании и добавлении счетного множества остаются в силе, если счетное множество заменить конечным. Доказательство приводится совершенно так же, как и выше.

Мы показали раньше [IV; 15], что множество рациональных чисел, принадлежащих некоторому промежутку или множество всех рациональных чисел есть счетное множество. Это доказывается совершенно так же, как и утверждение о счетности суммы счетного числа счетных множеств. Роль верхнего индекса играет числитель дроби, а роль нижнего индекса — ее знаменатель, причем сначала надо рассмотреть положительные дроби. Приведем теперь пример несчетного множества. Рассмотрим все вещественные числа, принадлежащие промежутку [0,1]. Каждое из них, кроме нуля, мы можем представить бесконечной десятичной дробью с целой частью, равной нулю, и наоборот каждой такой десятичной дроби будет соответствовать некоторое вещественное число из указанного промежутка. Конечными дробями мы не пользуемся, так как конечная дробь дает то же число, что и бесконечная, имеющая в периоде 9, например 0,37 = 0,36999... Покажем, что множество упомянутых вещественных чисел несчетно. Ведем доказательство от обратного. Положим, что все указанные десятичные дроби совместно с дробью дающей левый конец промежутка, можно пронумеровать. Составим новую десятичную дробь с целой частью, равной нулю, следующим образом. В качестве первого десятичного знака возьмем какую-нибудь цифру, отличную от первого десятичного знака первой из пронумерованных десятичных дробей, в качестве второго десятичного знака возьмем какую-нибудь цифру, отличную от второго десятичного знака второй из пронумерованных дробей, и т. д. Получится бесконечная десятичная дробь (цифрой 0 при составлении десятичных знаков новой десятичной дроби мы пользоваться не будем), которая отлична от всех пронумерованных десятичных дробей. Таким образом, соответствующее ей вещественное число не пронумеровано, а это противоречит тому, что все вещественные числа из промежутка [0,1] пронумерованы. Таким образом, мы показали, что множество всех вещественных чисел, принадлежащих промежутку [0,1], несчетно. Говорят, что это множество имеет мощность континуума. Нетрудно видеть, что множество вещественных чисел, принадлежащих любому конечному промежутку имеет ту же мощность, что и множество вещественных чисел, принадлежащих промежутку [0, 1]. Биоднозначное соответствие между элементами этих множеств

устанавливается формулой Когда пробегает промежуток переменное у пробегает промежуток [0, 1]. Если использовать формулу при изменении внутри промежутка [0,1] переменная у пробегает множество всех вещественных чисел, т. е. множество всех вещественных чисел также имеет мощность континуума. Если концы промежутка мы не будем причислять к множеству, то это не изменит его мощности, так как добавление или вычитание из бесконечного множества конечного множества не меняет его мощности.

В дальнейшем замкнутый промежуток мы будем обозначать символом а открытый промежуток, т. е. промежуток, к которому не присоединяются концы, символом Если левый конец не присоединяется, а правый присоединяется, то будем пользоваться символом аналогичное значение имеет Числа а и b могут принимать и бесконечные значения: т. е. рассматриваемые промежутки могут быть бесконечными налево и направо. Например, замкнутый промежуток содержит оба бесконечно далеких элемента. В соответствии с этим и функция может быть определена при и мы можем, например, писать . Непрерывность при равносильна условию . Аналогично и для

Кроме того, можно пользоваться и обычными обозначениями .

Нетрудно показать [I; 43], что функция конечная и непрерывная в замкнутом промежутке , равномерно непрерывна в этом промежутке.

1
Оглавление
email@scask.ru