§ 5.11. ПРАВИЛО ВЕРЕЩАГИНА

Определение перемещений в системах, состоящих из прямолинейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения специального приема вычисления интеграла вида . В связи с тем что в подынтегральное выражение входит произведение усилий являющихся ординатами эпюр, построенных для единичного и действительного состояний, этот прием называют способом перемножения эпюр.

Рис. 17.11

Его можно использовать в случае, когда одна из перемножаемых эпюр, например прямолинейна; в этом случае (рис. Вторая эпюра может иметь любое очертание (прямолинейное, ломаное или криволинейное).

Подставим значение в выражение

где — дифференциал площади эпюры (рис. 17.11).

Интеграл представляет собой статический момент площади эпюры относительно оси (рис. 17.11).

Этот статический момент можно выразить иначе:

где — абсцисса центра тяжести площади эпюры

Тогда

Но так как (см. рис. 17.11)

ТО

(26.11)

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади одной из них на ординату другой (прямолинейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры.

Способ перемножения эпюр предложен в 1925 г. студентом Московского института инженеров железнодорожного транспорта А. Н. Верещагиным, а потому он называется правилом (или способом ) Верещагина.

Заметим, что левая часть выражения (26.11) отличается от интеграла Мора отсутствием в ней жесткости сечения . Следовательно, результат выполненного по правилу Верещагина перемножения эпюр для определения искомого перемещения надо разделить на величину жесткости.

Очень важно отметить, что ордината должна быть взята обязательно из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолинейны, то ординату можно взять из любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолинейные эпюры и (рис. 18.11, а), то не имеет значения, что взять: произведение площади эпюры на ординату под ее центром тяжести из эпюры или произведение Qkyt площади Q эпюры на ординату под (или над) ее центром тяжести из эпюры

Когда перемножаются две эпюры, имеющие вид трапеции, то не надо находить положение центра тяжести площади одной из них. Следует одну из эпюр разбить на два треугольника и умножить площадь каждого из них на ординату под его центром тяжести из другой эпюры. Например, в случае, приведенном на рис. 18.11, б, получим

(27.11)

В круглых скобках этой формулы произведение левых ординат обеих эпюр и произведение правых ординат берутся с коэффициентом, равным двум, а произведения ординат, расположенных с разных сторон, — с коэффициентом, равным единице.

С помощью формулы (27.11) можно перемножать эпюры, имеющие вид «перекрученных» трапеций; при этом произведения ординат, имеющих одинаковые знаки, берутся со знаком плюс, а разные — минус. В случае, например, показанном на рис. 18.11, б, результат перемножения эпюр в виде «перекрученной» и обычной трапеций равен , а в случае, показанном на рис. 18.11, г, равен

Рис. 18.11

Формула (27.11) применима и тогда, когда одна или обе перемножаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треугольник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю. Результат, например, перемножения эпюр, показанных на рис. 18.11, д, равен

Умножение эпюры в виде «перекрученной» трапеции на любую другую эпюру можно производить и расчленяя «перекрученную трапецию на два треугольника, как показано на рис. 18.11, е.

Когда одна из эпюр (рис. 19.11) очерчена по квадратной параболе (от равномерно распределенной нагрузки q), то ее для перемножения с другой эпюрой рассматривают как сумму (в случае, показанном на рис. 19.11, а) или разность (в случае, показанном на рис. 19.11,б) трапецеидальной и параболической эпюр

Рис. 19.11

Результат перемножения эпюр, показанных на рис. 19.11, а, равен после подстановки в него получаем

Результат перемножения эпюр, показанных на рис. 19.11,б, равен после подстановки в него — и получаем

(28.11)

В обоих полученных выражениях в скобках стоят суммы произведений крайних ординат обеих эпюр с учетверенным произведением средних ординат.

Встречаются случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но одна из них (или обе) ограничена ломаными прямыми линиями. В этих случаях для перемножения эпюр предварительно разбивают их на такие участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра прямолинейна. Так, например, при перемножении эпюр, показанных на рис. 20.11, а,б, можно разбить их на два участка и представить результат перемножения в виде суммы Можно, перемножая эти же эпюры, разбить их на три участка, как показано на рис. 20.11, в,г; в этом случае результат перемножения эпюр равен

При использовании правила Верещагина приходится вычислять площади различных геометрических фигур и определять положения их центров тяжести. В связи с этим в табл. 1.11 приведены значения площадей и координаты центров тяжести наиболее часто встречающихся геометрических фигур.

Рис. 20.11

В качестве примера рассмотрим применение способа Верещагина для определения прогиба точки С (под силой ) балки, изображенной на рис. 16.11, а; при этом учтем действие изгибающих моментов и поперечных сил.

Единичное состояние балки, а также эпюры внутренних усилий в ней, вызванных нагрузкой и единичной силой показаны на рис. 16.11,б,б,г,д,е.

По формуле (24.11), используя способ Верещагина при перемножении эпюр, находим

Этот результат совпадает с результатом, полученным путем интегрирования.

Определим теперь горизонтальное смещение точки С рамы, изображенной на рис. 21.11, а. Моменты инерции поперечных сечений стоек рамы и ригеля указаны на рисунке; .

Действительное состояние рамы изображено на рис. 21.11, а. Эпюра изгибающих моментов для этого состояния (грузовая эпюра) показана на рис. 21.11, б.

В единичном состоянии к точке С рамы приложена в направлении искомого перемещения (т. е. горизонтального) сила, равная единице.

Таблица 1.11

(см. скан)

Эпюра изгибающих моментов М для этого состояния (единичная эпюра) изображена на рис. 21.11, в.

Знаки изгибающих моментов на эпюрах могут не указываться, так как известно, что ординаты эпюр отложены со стороны сжатых волокон каждого элемента.

Перемножив по способу Верещагина грузовую эпюру с единичной (рис. 21.11,б, в) и учтя при этом различные значения моментов инерции поперечных сечений стоек и ригеля рамы, найдем искомое перемещение точки С:

Знак минус при перемножении эпюр взят потому, что эпюры и М расположены с различных сторон элементов рамы, и, следовательно, изгибающие моменты и М имеют разные знаки.

Отрицательное значение полученного перемещения точки С означает, что эта точка смещается не по направлению единичной силы (рис. 21.11, в), а в противоположную сторону, т. е. вправо.

Рис. 21.11

Приведем теперь некоторые практические указания по применению интеграла Мора к различным случаям вычисления перемещений.

Определение перемещений в балках, жесткость сечений которых постоянна по всей длине или в пределах отдельных участков, целесообразно производить, вычисляя интеграл Мора по правилу Верещагина. То же относится и к рамам из прямолинейных стержней постоянной или ступенчато-переменной жесткости.

При жесткости сечений элемента конструкции, непрерывно изменяющейся по его длине, перемещения должны определяться путем непосредственного (аналитического) вычисления интеграла Мора. Такую конструкцию можно рассчитать приближенно, заменив ее системой с элементами ступенчато-переменной жесткости, после чего для определения перемещений использовать способ Верещагина.

Способ Верещагина может применяться не только при определении перемещений, но и при определении потенциальной энергии.