§ 3.5. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой оси, т. е.

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой точки, т. е.

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от этих осей, т.е.

Моменты инерции выражаются в и т.д.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, так как в их выражения под знаки интегралов входят величины площадок (всегда положительные) и квадраты расстояний этих площадок от данной оси или полюса.

Рис. 9.5

На рис. 9.5, а изображено сечение площадью F и показаны оси у и z. Осевые моменты инерции этого сечения относительно осей у :

Сумма этих моментов инерции

Но

и, следовательно,

т. е.

Таким образом, сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения указанных осей.

Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Так, например, центробежный момент инерции сечения, показанного на рис. 9.5, а, относительно осей у и положителен, так как для основной части этого сечения, расположенной в первом квадранте, значения , а следовательно, и положительны.

Если изменить положительное направление оси у или на обратное (рис. 9.5,б) или повернуть обе эти оси на 90° (рис. 9.5, в), то центробежный момент инерции станет отрицательным (абсолютная величина его не изменится), так как основная часть сечения будет тогда располагаться в квадранте, для точек которого координаты у положительны, а координаты z отрицательны. Если изменить положительные направления обеих осей на обратные, то это не изменит ни знак, ни величину центробежного момента инерции.

Рис. 10.5

Рассмотрим фигуру, симметричную относительно одной или нескольких осей (рис. 10.5). Проведем оси так, чтобы хотя бы одна из них (в данном случае ось у) совпадала с осью симметрии фигуры. Каждой площадке расположенной справа от оси соответствует в этом случае такая же площадка расположенная симметрично первой, но слева от оси у. Центробежный момент инерции каждой пары таких симметрично расположенных площадок равен:

но

Следовательно,

Таким образом, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Осевой момент инерции сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме осевых моментов инерции составляющих его частей относительно этой же оси.

Аналогично центробежный момент инерции сложного сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих же осей. Также и полярный момент инерции сложного сечения относительно некоторой точки равен сумме полярных моментов инерции составляющих его частей относительно той же точки.

Следует иметь в виду, что нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.