§ 2.9. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ БРУСЬЕВ БОЛЬШОЙ ЖЕСТКОСТИ

Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, когда в поперечном сечении бруса одновременно действуют продольная (растягивающая или сжимающая) сила и. изгибающий момент; в этом сечении может действовать и поперечная сила.

Внецентренно растянутый или сжатый брус, при расчете которого можно не учитывать дополнительные изгибающие моменты, равные произведениям продольных внешних сил Р на прогибы , называется жестким, а брус, при расчете которого их следует учитывать, — гибким.

Жесткими являются внецентренно сжатые и растянутые брусья, изображенные на рис. 10.9, а, г, д, если наибольшие их прогибы малы по сравнению с расстояниями сил Р от осей брусьев, и брусья, изображенные на рис. 10.9, б, в, в тех случаях, когда произведения малы по сравнению с внешними моментами

Рассмотрим расчет жестких брусьев; метод расчета гибких брусьев изложен ниже в § 5.13.

На рис. 11.9, а изображен жесткий брус; в его верхнем поперечном сечении одновременно действуют продольная сила N и изгибающий момент М, составляющие которого относительно главных осей и у инерции сечения равны Нормальное напряжение в произвольной точке С сечения с координатами у и равно сумме напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов , т. е.

Продольная сила N и моменты могут рассматриваться как результат воздействия на брус внецентренно приложенной силы

Именно поэтому случай одновременного действия в поперечном сечении продольной силы и изгибающего момента называют внецентренным растяжением (при растягивающей продольной силе) или сжатием (при сжимающей).

Рис. 10.9

Координаты точки А приложения силы Р называются эксцентриситетами этой силы относительно главных осей инерции и у, соответственно:

Точку А приложения силы Р называют центром давления или полюсом.

Подставим в формулу (10.9) выражения [на основании формул (11.9) и рис. 1.9, б]:

Знаки плюс перед всеми членами этой формулы поставлены потому, что положительная продольная сила а также изгибающие моменты (при положительных эксцентриситетах ) вызывают в точках поперечного сечения с положительными координатами у и z растягивающие (положительные) напряжения.

В формулу (12.9) величина растягивающей силы Р подставляется со знаком плюс, а сжимающей — со знаком минус; координаты у и z в эту формулу подставляются со своими знаками. Знак нормальных напряжений, возникающих в какой-либо точке сечения от изгибающего момента вызванного эксцентрично (внецентренно) приложенной силой Р, можно установить также, представив поперечное сечение в виде пластинки, закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью ; пластинка опирается на жесткое основание через систему пружин (рис. 12.9).

Момент от силы Р, показанной, например, на рис. 12.9, вызывает поворот пластинки вокруг оси z, в результате чего пружины, расположенные под заштрихованной частью пластинки, оказываются сжатыми; следовательно, в этой части сечения бруса от момента возникают сжимающие напряжения. Аналогично, для того чтобы установить знак напряжений от момента надо пластинку представить закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью у.

Формула (12.9) служит для определения нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения при внецентренном растяжении и сжатии.

Рис. 11.9

Формулу (12.9) можно представить в следующем виде:

ИЛИ

где - радиусы инерции поперечного сечения бруса относительно главных центральных осей инерции гну соответственно.

Следует иметь в виду, что в формулах (10.9)-(14.9) оси у и z являются главными центральными осями инерции поперечного сечения бруса.

Формулы (12.9)-(14.9) удобно использовать, когда известны равнодействующая внутренних усилий в поперечном сечении бруса (т. е. сила Р) и координаты точки ее приложения (полюса). Формулу же (10.9) удобно применять, когда известны внутренние усилия действующие в поперечном сечении.

Варианты эпюр нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении бруса при внецентренном сжатии (т. е. при отрицательной силе Р), изображены в аксонометрии на рис. 13.9.

Они ограничены с одной стороны плоскостью поперечного сечения 1-2-3-4, а с другой — плоскостью 1-2-3-4. Ординаты эпюр в центре тяжести сечения (при y = z = 0) равны

Рис. 12.9

Все ординаты эпюры, показанной на рис. 13.9, а, отрицательны, так как плоскость ограничивающая их, не пересекает плоскость 1-2-3-4 в пределах поперечного сечения бруса. Ординаты же эпюры, изображенной на рис. 13.9, б, по одну сторону от прямой отрицательны, а по другую — положительны.

Рис. 13.9

Прямая пп представляет собой линию пересечения плоскости 1-2-3-4 с плоскостью поперечного сечения бруса. Во всех точках, расположенных на прямой пп, напряжения а равны нулю, и, следовательно, эта прямая является нейтральной осью (нулевой линией).

Определим положение нейтральной оси (рис. 14.9). Для этого приравняем нулю правую часть выражения (14.9):

Так как , то

Выражение (15.9) является уравнением прямой (так как координаты у и входят в него в первой степени) и представляет собой уравнение нейтральной оси. Для определения положения нейтральной оси найдем ординату точки В ее пересечения с осью у (рис. 14.9); абсцисса этой точки а потому на основании выражения (15.9)

откуда

Рис. 14.9

Абсцисса точки С пересечения нейтральной оси с осью равна (рис. 14.9), а ордината этой точки Подставляя значения в выражение (15.9), находим

откуда

Итак, величины отрезков, отсекаемых нейтральной осью (нулевой линией) на осях координат, определяются выражениями:

Из этих выражений следует:

1) положение нулевой линии не зависит от величины и знака силы Р;

2) нулевая линия и полюс лежат по разные стороны от начала координат;

3) чем дальше от начала координат расположен полюс (т. е. чем больше по абсолютной величине координаты ), тем ближе к центру сечения проходит нейтральная ось (т. е. тем меньше отрезки ), и наоборот;

4) если полюс расположен на одной из главных центральных осей инерции, то нулевая линия перпендикулярна этой оси; например, когда полюс расположен на оси , то т. е. нейтральная ось параллельна оси у.

При внецентренном растяжении и сжатии нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса, как и при изгибе, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси. Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Эпюра нормальных напряжений, значения которых отложены от линии, перпендикулярной нейтральной оси, показана на рис. 14.9.

Каждая ордината этой эпюры определяет величину нормальных напряжений, возникающих в точках поперечного сечения, расположенных на прямой DD, проходящей через эту ординату параллельно нейтральной оси. Для построения этой эпюры достаточно определить положение нейтральной оси и вычислить нормальные напряжения в одной из точек поперечного сечения (не расположенной на этой оси), например в центре тяжести сечения. С помощью такой эпюры наиболее просто определяются значения нормальных напряжений в любых точках поперечного сечения.

Расчет на прочность стержня, сжатого или растянутого внецентренно приложенными продольными внешними силами (т. е. при отсутствии поперечных сил), производится наиболее просто, так как в таком случае внутренние усилия одинаковы во всех поперечных сечениях каждого участка стержня. Это исключает необходимость определения опасного поперечного сечения, так как при стержне с постоянными поперечными размерами в пределах каждого участка все сечения одного участка являются равноопасными. При стержне же с переменными поперечными размерами опасным в пределах каждого участка является сечение наименьшего размера.

При наличии в поперечных сечениях стержня поперечных сил изгибающие моменты непрерывно изменяются по длине стержня, а потому определение опасного сечения становится более сложным. Обычно в таких случаях проводят проверку прочности, определяя нормальные напряжения в ряде сечений (которые предположительно могут оказаться опасными) и сопоставляя их с допускаемыми напряжениями.

Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения. Таким путем находят точки сечения, расположенные по обе стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нее, которые и могут быть опасными.

При пластичном материале для проверки прочности достаточно определить напряжения в одной точке сечения в точке с наибольшим по абсолютной величине нормальным напряжением. При хрупком материале необходимо определить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения, т. е. найти напряжения в двух точках (за исключением тех случаев, когда в сечении действуют напряжения одного знака).

Поперечная сила вызывает в поперечном сечении бруса касательные напряжения, которые определяются по формуле Журавского (см. § 8.7).

Рассмотрим частный случай внецентренного сжатия или растяжения, когда полюс А расположен на одной из главных осей инерции, например на оси у, т. е. случай, когда Для этого случая формула (10.9) принимает вид

и, следовательно,

При прямоугольном поперечном сечении, основание которого b параллельно оси , а высота h параллельна оси у (рис. 15.9), получаем

или

Нейтральная ось при этом перпендикулярна оси у.

Рис. 15.9

Рис. 16.9

Формула (19.9) позволяет легко установить зависимость между видом эпюры нормальных напряжений и величиной эксцентриситета продольной силы (рис. 15.9). При

и, следовательно, эпюра напряжений а имеет вид прямоугольника (рис. 16.9, а).

При напряжения <ттах и имеют одинаковые знаки и, следовательно, эпюра а имеет вид трапеции (рис. 16.9, б).

Если то эпюра о в этом случае имеет вид треугольника (рис. 16.9, в). Наконец, при эпюра нормальных напряжений имеет вид «перекрученной» трапеции (рис. 16.9, г), так как в этом случае напряжения имеют разные знаки. Во всех случаях напряжение в центре тяжести сечения одинаково и равно

Следовательно, при эксцентриситете продольной силы в одной части поперечного сечения возникают нормальные напряжения одного знака, а в остальной — другого знака. При эксцентриситете т. е. когда продольная сила приложена в точке оси симметрии прямоугольного сечения в пределах средней трети сечения, по всему сечению возникают нормальные напряжения одного знака.