Примеры расчета

Пример 1.2. (к § 1.2-3.2, 5.2 и 6.2). Для стального бруса, изображенного на рис. 37.2, а, построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и перемещений этих сечений, а также определить потенциальную энергию деформации. Задачу решить без учета собственного веса бруса. Принять

Рис. 37.2

Решение. Продольную силу в поперечном сечении определяем, проектируя внешние силы, приложенные ниже рассматриваемого сечения, на ось бруса:

а) на участках

б) на участке

По полеченным значениям строим эпюру продольных сил .V (рис. 37.2, б). В поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, величины которых определяются по формуле (3.2):

а) на участке ab

б) на участке bс

в) на участке cd

По полученным значениям строим эшору нормальных напряжений о (рис. 37.2, в).

Поперечные сечения бруса под действием нагрузки смещаются по вертикали вниз. Величина смещения сечения, расположенного на расстоянии от верхнего конца бруса, равна деформации участка длиной

а) для сечений на участке

перемещение сечения с (при см)

б) для сечений на участке (при 50 150 см)

перемещение сечения b (при )

в) для сечений на участке (при 150 350 см)

перемещение сечения а (при )

Во все полученные выражения координата входит в первой степени, т. е. зависимость между 6 и линейная. Это позволяет по подсчитанным перемещениям сечений и по известному перемещению сечения d построить эпюру перемещений 6 (рис. 37.2, г).

Для вычисления потенциальной энергии деформации бруса воспользуемся формулой (28.2):

Пример 2.2 (к § 1.2, 2.2, 5.2 и 6.2). Определить напряжения в поперечных сечениях стального бруса, имеющего форму усеченного конуса, изображенного на рис. 38.2, а также перемещение верхнего сечения и потенциальную энергию деформации бруса. Задачу решить без учета собственного веса бруса. Принять

Рис. 38.2

Решение. Продольная сила во всех поперечных сечениях бруса одинакова: (сжатие).

Нормальные напряжения в поперечном сечении бруса, отстоящем на расстояние х от верхнего конца, определяются по формуле (3.2):

где

Поэтому

Перемещение верхнего конца бруса (вниз) равно укорочению всего бруса и определяется по формуле (18.2):

Потенциальную энергию деформации бруса находим по формуле (31.2):

Проверяем равенство потенциальной энергии деформации работе внешней силы Р [см. формулу (21.2)]:

Пример 3.2 (к §1.2-3.2, 5.2-8.2). Стальной стержень площадью поперечного сечения закреплен верхним концом и находится под действием собственного веса (рис. 39.2, а). Найти наибольшую, допустимую по условию прочности длину стержня потенциальную энергию деформации этого стержня, а также перемещение его нижнего конца и сечения

Рис. 39.2

Объемный вес стали кгс/см.

Допускаемое напряжение на растяжение Модуль упругости

Решение. Обозначим расстояние от нижнего конца стержня до произвольного поперечного сечения. Продольная сила в сечении равна [см. формулу (32.2)]:

где — в см.

Нормальные растягивающие напряжения в этом сечении

Наибольшие напряжения возникают в верхнем сечении стержня:

При наибольшей допустимой длине стержня напряжения в опасном (верхнем) сечении должны быть равны допускаемому напряжению; условие прочности для данной задачи имеет вид

откуда

Таким образом, допустимая по условию прочности длина стержня получается очень большой. Поэтому учет собственного веса вертикальных стержней необходим только в редких случаях — при весьма большой их длине, например при расчете тросов подъемников в глубоких шахтах. В большинстве же практических случаев расчет таких стержней производится без учета собственного веса.

Потенциальная энергия деформации стержня на основании формулы (37.2) равна:

где - вес стержня.

Перемещение нижнего конца стержня равно полному его удлинению и может быть определено по формуле (35.2).

Следовательно,

Перемещение сечения стержня равно деформации его верхнего участка длиной Для вычисления этой деформации определяем вес участка стержня ниже сечения и вес верхнего участка

Сила при определении деформации верхнего участка стержня рассматривается как сосредоточенная сила, приложенная к его нижнему концу, а сила является собственным весом этого участка и вызванное ею удлинение определяется по формуле (35.2), т. е. так, как если бы эта сила была приложена в центре тяжести рассматриваемого участка (рис. 39.2,б). Таким образом,

Пример 4.2. (к § 1.2-3.2, 5.2, 7.2 и 8.2). Установить закон изменения площадей поперечных сечений стержня равного сопротивления (т. е. такого стержня, нормальные напряжения во всех поперечных сечениях которого одинаковы), изображенного на рис. 40.2, а и находящегося под действием собственного веса и силы Я, если нормальные напряжения в его поперечных сечениях равны

Определить полное удлинение стержня.

Решение. Вырежем из стержня двумя сечениями, перпендикулярными к его оси, элемент бесконечно малой длины (рис. 40.2, а, б). Этот элемент находится в равновесии под действием сил и собственного веса

По условию задачи:

где — площадь поперечного сечения стержня на расстоянии от его нижнего конца.

Вес элемента

где — объемный вес материала стержня.

Условие равновесия элемента имеет вид

или

откуда

Проинтегрируем последнее уравнение:

Следовательно,

где

Постоянную интегрировния определим из грани» ного условия: при

Подставим полученное чение в выражение

Рис. 40.2

Это выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой.

Для вычисления полного удлинения стержня определим сначала удлинение элемента dx. По закону Гука

Следовательно,

Полученная форма стержня равного сопротивления теоретически является наиболее экономичной. Однако изготовление стержня такой формы затруднительно. Поэтому его заменяют обычно стержнем со ступенчатым законом изменения поперечных размеров.

Пример 5.2 (к § 5.2 и 7.2). Стальной стержень находится под действием силы и собственного веса (рис. 41.2). Найти перемещение сечения

Рис. 41.2

Решение. На основании принципа независимости действия сил полное перемещение сечения равно сумме его перемещений — от действия силы Р и действия собственного веса, т. е.

Перемещения равны удлинениям (соответственно от силы Р и собственного веса) участка стержня длиной а с, расположенного выше сечения т. е.

и

Нагрузка P вызывает удлинение только участка стержня длиной а, так как на остальных участках продольные силы от этой нагрузки равны нулю. Следовательно, и на основании закона

Определим удлинение участка длиной от веса стержня. Оно вызывается весом нижележащего участка длиной и собственным весом участка длиной

где

Определим удлинение участка длиной с от собственного веса стержня. Оно вызывается весом нижележащего участка длиной d и собственным весом участка длиной с:

где

Таким образом,

и, следовательно,

т. е. сечение стержня опустится на 0,0128 мм.

Пример 6.2 (к § 4.2). Круглый стальной стержень длиной 200 мм и диаметром 20 мм разорван на испытательной машине. После разрыва общая длина частей стержня составляет 252 мм, а наименьший диаметр шейки равняется 14,5 мм. Определить остаточное относительное удлинение образца и остаточное относительное сужение шейки.

Решение. Остаточное относительное удлинение равно отношению остаточного удлинения к первоначальной длине образца [см. формулу (16.2)]

Остаточное относительное сужение шейки равно отношению изменения площади поперечного сечения образца в месте образования шейки к первоначальной площади сечения [см. формулу (17.2)]:

Пример 7.2 (к § 5.2 и 6.2). Абсолютно жесткий брус АС прикреплен в точке А к неподвижному шарниру, а в точке В поддерживается стальной тягол BD, имеющей площадь сечения F (рис. 42.2, а). К концу С бруса приложена сила Р. Определить вертикальное перемещение точки С.

Рис. 42.2

Решение. Составим уравнение равновесия бруса в виде суммы моментов действующих на него сил (рис. 42.2, б) относительно точки А:

где

Следовательно,

Удлинение тяги

Здесь длина тяги

Точка В, как и точка С бруса, перемещается по вертикали. Обозначим перемещения этих точек Из рис. 42.2, в (на котором положение точки В после перемещения обозначено ) видно, что и, следовательно,

Из подобия треугольников (рис. 42.2, г) находим

Этот же результат можно получить значительно проще, если воспользоваться формулой (23.2), вытекающей из закона сохранения энергии:

где V — потенциальная энергия деформации (в данном случае энергия деформации тяги); А — работа внешней нагрузки (в данном случае силы ).

По формулам (21.2) и (24.2):

Но так как , то

откуда

Пример 8.2 (к § 3.2). Стальной стержень квадратного сечения со сторонами растянут силой Определить размеры поперечного сечения стержня после его деформации, если и коэффициент Пуассона

Решение. Относительная продольная деформация стержня

Относительная поперечная деформация стержня

Знак «минус» указывает на то, что размеры поперечных сечений стержня уменьшились. Размер стороны квадратного поперечного сечения после деформации стержня

Пример 9.2 (к § 8.2). На рис. 43.2, а показан металлический стержень, а на рис. 43.2, б—эпюра N продольных сил, возникающих в его поперечных сечениях. Произвести расчет стержня на прочность в указанных ниже четырех случаях.

1. Стержень изготовлен из пластичной стали:

Проверить прочность стержня.

Рис. 43.2

Решение. Поперечные сечения участка III стержня не могут быть опасными, так как в них продольная сила меньше (по абсолютной величине), чем в сечениях участка а площади поперечных сечений участков II и III одинаковы. Опасными могут быть сечения участка или II. Определим нормальные напряжения в них:

Стержень является прочным, так как условие прочности (41.2) выполняется;

2. Стержень изготовлен из чугуна:

Проверить прочность стержня.

Решение. Определяем нормальные напряжения в поперечных сечениях участков II и III стержня:

Сжимающие напряжения удовлетворяют второму из условий прочности (39.2):

Наибольшие растягивающие напряжения не удовлетворяют первому из условий прочности (39.2):

Следовательно, прочность стержня недостаточна.

3. Стержень изготовлен из пластичной стали: Подобрать площадь поперечных сечений для участка I и - для участков II и

Решение. По формуле (44.2):

Принимаем

4. Стержень изготовлен из пластичной стали:

Определить допускаемое значение нагрузки Р.

Решение. Определяем допускаемые (по условию прочности) значения продольных сил:

Из эпюры N (рис. ) следует, что Тогда из условия прочности для участка стержня

откуда

для участка II

откуда

для участка

Допускаемое значение нагрузки Р, при котором условие прочности выполняется для всех участков стержня, равно меньшему из найденных значений, т. е.

Пример 10.2 (к § 2.2 и 8.2). Определить толщину стальной полосы шириной см, растягиваемой силой если

Полоса прикреплена к стальному листу одним рядом заклепок диаметром мм. Найти нормальные и касательные напряжения в наклонных сечениях и II—II (рис. 44.2, д).

Решение. Наиболее слабым сечением полосы является сечение А — А, проведенное через центр первой заклепки (рис. 44.2, а). В этом сечении продольная сила N равна Р. В других сечениях, также ослабленных отверстиями, продольные силы меньше Р, так как часть нагрузки через заклепки, расположенные ближе к силе Р, уже передана стальному листу.

Рис. 44.2

Фактическая (рабочая) площадь полосы в сечении А — А равна где — толщина полосы. Из условия прочности (44.2) находим необходимую площадь поперечного сечения полосы:

Следовательно,

откуда необходимая толщина полосы

Принимаем мм. Нормальные напряжения в поперечных сечениях на участке между силой Р и сечением А —А

По формулам (6.2) и (7.2)

Сечения взаимно перпендикулярны; поэтому напряжения равны друг другу по величине и обратны по знаку.

Полученные направления напряжений показаны на рис. 44.2, б.

Пример 11.2 (к § 1.2, 5.2 и 9.2). Стержень постоянного поперечного сечения (площадью сечения ), защемленный обоими концами, нагружен силами (рис. 45.2, а). Построить эпюры продольных сил и перемещений.

Решение. Условие равновесия стержня имеет вид (см. рис. 45.2, а)

Продольная сила в сечениях различных участков стержня:

Это легко установить, проектируя силы, расположенные по одну сторону от рассматриваемого сечения, на ось стержня.

Рис. 45.2

Определим продольные деформации участков по формуле (13.2):

Дополнительное уравнение получаем из того условия, что сумма продольных деформаций всех участков равна нулю, так как расстояние между жестко защемленными сечениями А и D измениться не может:

или

откуда

Решаем это уравнение совместно с уравнением равновесия; получаем

Сила получается отрицательной; это означает, что действительное направление ее противоположно принятому при расчете, т. е. что реакция нижнего защемления направлена вниз.

Подставив величины в выражения продольных сил, получим значения этих сил:

По этим значениям построена эпюра изображенная на рис. 45.2, б. Составим выражения для перемещений поперечных сечений, отстоящих на расстояниях (см. рис. 45.2, а) от верхнего конца стержня (перемещения вниз считаем положительными):

а) для участка А В

при

при

б) для участка ВС

при

при

в) для участка CD при

при

при

По полученным значениям построена эпюра перемещений б (рис. 45.2, в). Пример 12.2 (к § 9.2). Абсолютно жесткий брус АС, нагруженный силой шарнирно закреплен в точке А и подвешен на двух стальных стержнях с сечениями (рис. 46.2, а). Найти напряжения в стержнях. Определить допускаемую нагрузку [Р] и предельно допускаемую нагрузку при

Решение. Отбросим мысленно левый и оба верхних опорных шарнира и заменим их влияние на конструкцию опорными реакциями и усилиями в стержнях (рис. 46.2, б). Составим уравнения равновесия бруса:

В три уравнения равновесия входят четыре неизвестные силы, и, следовательно, задача является один раз статически неопределимой. Для составления дополнительного уравнения рассмотрим деформацию конструкции.

В результате удлинения стержней брус (который предполагается абсолютно жестким) повернется вокруг шарнира Л, оставаясь прямым (рис. 46.2, в).

Рис. 46.2

Перемещение шарнира В равно удлинению первого (левого) стержня, а перемещение шарнира С — удлинению второго (правого) стержня. Из подобия треугольников (рис. 46.2, в) находим

откуда

Но на основании закона Гука

и, следовательно,

откуда

Подставим найденное значение в последнее из уравнений равновесия:

откуда

и

Напряжения в стержнях

и

Найдем теперь допускаемое значение силы . При нормальные напряжения в более напряженном втором стержне а не как при

Следовательно,

При предельном состоянии системы, соответствующем исчерпанию ее грузоподъемности, нормальные напряжения в поперечных сечениях обоих стержней равны а следовательно,

Из условия равновесия находим значение предельной нагрузки:

По формуле (59.2) находим предельно допускаемую нагрузку:

Пример 13.2 (к § 9.2). Железобетонная колонна сечением 40 X 40 см нагружена вертикальной силой Площадь поперечного сечения продольной арматуры (из стали ) Определить нормальные напряжения в бетоне и в арматуре, если модули упругости арматуры а бетона

Решение. Определим площадь бетона:

где — площадь поперечного сечения колонны, равная Определим приведенную площадь бетона [см. формулу (54.2))

Нормальные напряжения в бетоне [см. формулу (53.2)]:

Нормальные напряжения в арматуре [см. формулу (52.2)]:

Пример 14.2 (к § 9.2). Абсолютно жесткая балка подвешена на двух медных и одном стальном стержнях. При изготовлении стальной стержень сделан длиннее, чем это требовалось по проекту, на мм (рис. 47.2, а). Определить монтажные усилия в стержнях после сборки конструкции (рис. 47.2, б) и усилия в них при действии на балку силы Площади поперечных сечений всех стержней одинаковы и равны модуль упругости стали и меди

Решение. Отбросим мысленно стержни и заменим их действие на балку силами NM и (в связи с симметрией конструкции усилия в обоих медных стержнях одинаковы).

Составим уравнение равновесия балки:

После монтажа системы и приложения к ней силы Р балка переместилась вниз, оставаясь (из-за симметрии конструкции) горизонтальной. Длины всех трех стержней при этом стали одинаковы и равны (рис. 47.2, б). Удлинение стального стержня

где удлинение медного стержня.

Рис. 47.2

Подставим в это уравнение выражения удлинении основании закона

откуда

и окончательно

Подставим значение в уравнение равновесия:

откуда

и, следовательно,

Монтажные усилия, вызванные неточностью изготовления стального стержня, определим, подставив в выражения значение Тогда При силе полные усилия в стержнях (от неточности изготовления стального стержня и от нагрузки)

Пример 15.2 (к § 9.2). Стержень ступенчатого переменного сечения, заделанный обоими концами в неподвижные стены, нагрет на

Площадь поперечного сечения стержня на участке длиной равна , а на участке длиной равна (рис. 48.2, а). Модуль упругости материала стержня , а коэффициент линейного расширения а.

Определить в общем виде нормальные напряжения в поперечных сечениях заданного стержня, вызванные его нагревом. Используя полученное общее решение, найти температурные напряжения в рельсах сварного трамвайного пути при изменении температуры при

Решение. Отбросим мысленно правую заделку и заменим ее действие на стержень реакцией R (рис. 48.2, б). Под действием температуры такой стержень удлинится на величину и свободный конец его переместится вправо на эту же величину.

Рис. 48.2

В действительности же правый конец, заделанный в стену, перемещаться не может, и, следовательно, сила сжимающая стержень, укорачивает его на величину по закону Гука укорочение стержня от силы

Следовательно,

откуда

Продольная сила N во всех поперечных сечениях стержня одинакова: (сжатие). Напряжения в поперечных сечениях стержня на участке длиной

а на участке длиной

Эти выражения, полученные для стержня ступенчатого переменного сечения, после подстановки в них значения дадут значения напряжений в стержне постоянного сечения:

Как стержни, заделанные обоими концами, можно рассматривать рельсы сварного трамвайного пути, звенья которых имеют весьма большую длину. Поэтому средние участки таких звеньев не могут смещаться вдоль осей рельсов. Температурные напряжения (сжимающие), возникающие летом при температуре в рельсах трамвайного пути, уложенного зимой при температуре — , равны: