§ 2.13. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ

Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатого прямого стержня называется продольным изгибом; это наиболее простая и в то же время одна из наиболее важных инженерных задач, связанных с проблемой устойчивости.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения с шарнирно закрепленными концами, нагруженный на верхнем конце центрально приложенной сжимающей силой Р (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы Р, при котором прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой. Для ее определения отклоним стержень в положение, показанное пунктиром, и установим, при каком наименьшем значении силы Р стержень может не вернуться в прежнее положение.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид [см. формулу (68.7)]

Начало координат считаем расположенным у нижнего конца стержня, а ось — направленной вверх.

Изгибающий момент в сечении с абсциссой равен

Подставим выражение М в уравнение (1.13):

или

где

Интеграл дифференциального уравнения (2.13) имеет вид

(4.13)

Произвольные постоянные А и В можно определить из граничных условий:

а) при и и, следовательно, на основании уравнения (4.13)

б) при и, следовательно, на основании уравнения (4.13)

или

Условие (5.13) выполняется при или При подстановке значения и найденного значения в уравнение (4.13) получаем выражение , не соответствующее условию задачи, целью которой является определение такого значения силы Р, при котором величины у могут быть не равными нулю.

Таким образом, для того чтобы удовлетворить условию задачи и условию (5.13), необходимо принять или [на основании выражения (3.13)]

откуда

где

Условие (6.13) удовлетворяется и при однако при этом из выражения (7.13) следует , что не удовлетворяет условию задачи. Наименьшее значение отличное от нуля, можно получить из выражения (7.13) при Тогда

и

Формула (8.13) впервые была получена Эйлером, поэтому критическая сила называется также эйлеровой критической силой.

Если сжимающая сила меньше критической, то возможна только прямолинейная форма равновесия, которая в этом случае является устойчивой.

Формула (8.13) дает значение критической силы для стержня с шарнирно закрепленными концами. Определим теперь значение критической силы при других видах закрепления концов стержня.

Рассмотрим центрально сжатый стержень длиной защемленный (заделанный) одним концом. Возможная форма равновесия такого стержня при критическом значении силы Р имеет вид, показанный на рис. 4.13.

Сравнивая рис. 4.13 и рис. 3.13, устанавливаем, что стержень длиной с одним защемленным концом можно рассматривать как стержень длиной 21 с шарнирно закрепленными концами, изогнутая ось которого показана на рис. 4.13 пунктиром.

Рис. 4.13

Рис. 5.13

Следовательно, значение критической силы для стержня с одним защемленным концом можно найти, подставив в формулу (8.13) величину вместо тогда

Для стержня с обоими заделанными концами возможная форма изгиба при потере устойчивости показана на рис. 5.13. Она симметрична относительно середины стержня; точки перегиба изогнутой оси расположены в четвертях длины стержня.

Из сопоставления рис. 5.13 и рис. 4.13 видно, что каждая четверть длины стержня, заделанного обоими концами, находится в таких же условиях, в каких находится весь стержень, изображенный на рис. 4.13. Следовательно, значение критической силы для стержня с обоими заделанными концами можно найти, если подставить в формулу (9.13) величину вместо

Тогда

(10.13)

Таким образом, критическая сила для стержня с шарнирно закрепленными концами в четыре раза больше, чем для стержня с одним защемленным, а другим свободным концом, и в четыре раза меньше, чем для стержня с обоими защемленными концами. Случай шарнирного закрепления концов стержня принято называть основным.

Формулы Эйлера (8.13), (9.13) и (10.13) для определения критической силы при различных закреплениях концов стержня можно представить в следующем общем виде:

(11.13)

Здесь — так называемый коэффициент приведения длины; — приведенная длина стержня.

Коэффициент позволяет любой случай закрепления концов стержня свести к основному случаю, т.е. к стержню с шарнирно закрепленными концами. Для четырех наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня коэффициент имеет следующие значения:

Из формулы (11.13) следует, что значение критической силы прямо пропорционально жесткости поперечного сечения стержня при изгибе и обратно пропорционально квадрату длины стержня.

При потере устойчивости искривление (выпучивание) стержня происходит, как правило, в плоскости, перпендикулярной главной оси минимум поперечного сечения, т.е. при изгибе сечения поворачиваются вокруг этой оси. Поэтому критическую силу следует вычислять по значению главного центрального момента инерции Исключения могут быть лишь в случаях, когда условия закрепления концов стержня в разных плоскостях, проходящих через его ось, различны (такой случай рассмотрен ниже в примере 3.13).

По значению критической силы можно определить вызванное ею критическое сжимающее напряжение т.е. то напряжение, при котором прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой:

Заменив в этом выражении J на и введя обозначение

(12.13)

получим

(13.13)

Величина X, равная отношению приведенной длины стержня к радиусу инерции i поперечного сечения стержня, называется гибкостью стержня. Так как потеря устойчивости, как правило, происходит в плоскости наименьшей жесткости, то в выражение гибкости обычно входит минимальный радиус инерции поперечного сечения.