Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРУГА МОРАЕсли известны напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку, то определение напряжений по любым другим площадкам, а также положений главных площадок и площадок сдвига можно проводить графическим способом — с помощью так называемого круга Мора. Для обоснования этого способа приведем формулы (6.3) и (7.3) в следующем виде:
или
Возведем в квадрат обе части последних двух выражений и сложим их:
Из аналитической геометрии известно уравнение окружности
где Сопоставляя друг с другом уравнения (17.3) и (18.3), устанавливаем, что если по оси абсцисс откладывать значения нормальных напряжений а, а по оси ординат — значения касательных напряжений
радиус окружности
Такая окружность носит название круга Мора (или круга напряжений). Координаты каждой точки этого круга определяют собой величины нормальных и касательных напряжений по одной из площадок, проходящих через точку тела, напряженное состояние в которой характеризует построенная окружность. Построим круг Мора для напряженного состояния, изображенного на рис. 8.3, а. Для этого возьмем прямоугольную систему координат Затем нанесем на график точку В с абсциссой
Рис. 8.3 Соединим точки А и В прямой АВ. Полученные при этом два прямоугольных треугольника Стороны Продолжим направления площадок, показанных у точек А и В (или только у одной из них), до пересечения в точке С, называемой полюсом, с окружностью (рис. 8.3, б). Соединим прямой произвольную точку М окружности с точкой С и обозначим Р угол между этой прямой и направлением площадки, показанной в точке А (рис. 8.3, б). Координаты точки М равны напряжениям
Подставим в это равенство выражения
Заменим
Таким образом, прямая MC, соединяющая точку М окружности с полюсом С, образует угол а с направлением площадки, по которой действует нормальное напряжение 1) для того чтобы найти направление площадки, по которой действуют напряжения 2) для того чтобы найти напряжения, действующие в некоторой площадке, необходимо из полюса С провести прямую, параллельную этой площадке, до пересечения с окружностью (кругом Мора); абсцисса точки пересечения равна (в принятом масштабе) нормальному напряжению Круг Мора строят указанным выше способом как при На рис. 9.3, б и 10.3, б показаны круги Мора для напряженных состояний, изображенных на рис. 9.3, а и 10.3, а соответственно. С помощью круга Мора легко можно определить положения главных площадок и величины главных напряжений. Способ их определения рассмотрим на примере круга Мора, изображенного на рис. 11.3, б, построенного для напряженного состояния, показанного на рис. 11.3, а. По главным площадкам касательные напряжения, как известно, равны нулю, а потому точки 1 и 2 круга Мора, соответствующие этим площадкам, расположены на оси абсцисс (оси а). Абсциссы точек
Рис. 9.3 Для определения направлений главных площадок следует точки
Рис. 10.3 Выведем с помощью круга Мора общее выражение для величин главных напряжений. Из рис. 11.3, б следует, что
Подставим в это выражение значение R по формуле (20.3):
Это выражение совпадает с формулой (12.3), полученной в § 3.3 другим путем. С помощью круга Мора легко определить и экстремальные касательные напряжения. На рис. 11.3, б отмечены точки 3 и 4, соответствующие площадкам, по которым действуют эти напряжения. Напряжение ттах действует по площадке, параллельной лучу
Из рис. 11.3, б видно, что углы между главными площадками и площадками с экстремальными значениями касательных напряжений (площадками сдвига) равны вписанным углам
Рис. 11.3 Из рис. 11.3, б видно также, что нормальные напряжения в площадках сдвига равны абсциссе центра круга Мора, т. е.
|
1 |
Оглавление
|