§ 5.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРУГА МОРА

Если известны напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку, то определение напряжений по любым другим площадкам, а также положений главных площадок и площадок сдвига можно проводить графическим способом — с помощью так называемого круга Мора. Для обоснования этого способа приведем формулы (6.3) и (7.3) в следующем виде:

или

Возведем в квадрат обе части последних двух выражений и сложим их:

Из аналитической геометрии известно уравнение окружности

где - абсцисса и ордината центра окружности; радиус.

Сопоставляя друг с другом уравнения (17.3) и (18.3), устанавливаем, что если по оси абсцисс откладывать значения нормальных напряжений а, а по оси ординат — значения касательных напряжений то график, выражающий зависимость между этими напряжениями, будет представлять собой окружность. Координаты центра этой окружности

радиус окружности

Такая окружность носит название круга Мора (или круга напряжений). Координаты каждой точки этого круга определяют собой величины нормальных и касательных напряжений по одной из площадок, проходящих через точку тела, напряженное состояние в которой характеризует построенная окружность.

Построим круг Мора для напряженного состояния, изображенного на рис. 8.3, а. Для этого возьмем прямоугольную систему координат (рис. 8.3, б). Нанесем на ней точку А, абсцисса которой равна (в некотором масштабе) нормальному напряжению а ордината — касательному напряжению напряжение положительно, а потому оно отложено вправо от оси ординат; напряжение отрицательно, а потому отложено вниз от оси абсцисс.

Затем нанесем на график точку В с абсциссой и ординатой Точка А характеризует напряжения по вертикальным боковым граням параллелепипеда, изображенного на рис. 8.3, а, а точка В — по его горизонтальным граням. В соответствии с этим покажем у точки А (на рис. 8.3,б) вертикальную площадку, а у точки В — горизонтальную.

Рис. 8.3

Соединим точки А и В прямой АВ. Полученные при этом два прямоугольных треугольника и равны между собой: они имеют равные острые углы и а также равные стороны (так как — на основании закона парности касательных напряжений).

Стороны прямоугольных треугольников равны между собой, а сумма этих сторон равна . Поэтому каждая из них равна Следовательно, абсцисса точки О равна а ордината — нулю, и на основании (19.3) точка О является центром круга Мора. Из этого центра радиусом О А (или ОВ) проводим окружность. Радиус ее, как следует из рис. равен т. е. совпадает с величиной, указанной в выражении (20.3) и, следовательно, эта окружность является кругом Мора.

Продолжим направления площадок, показанных у точек А и В (или только у одной из них), до пересечения в точке С, называемой полюсом, с окружностью (рис. 8.3, б).

Соединим прямой произвольную точку М окружности с точкой С и обозначим Р угол между этой прямой и направлением площадки, показанной в точке А (рис. 8.3, б).

Координаты точки М равны напряжениям и та в некоторой площадке, наклоненной под углом а к площадке с нормальным напряжением координаты же точки С, как это видно из рис. 8.3,б равны Выразим через координаты точек М и С.

Подставим в это равенство выражения и та по формулам (6.3) и (7.3):

Заменим в правой части этого равенства значением значением значением

Таким образом, прямая MC, соединяющая точку М окружности с полюсом С, образует угол а с направлением площадки, по которой действует нормальное напряжение следовательно, эта прямая параллельна площадке, по которой действуют напряжения и та, равные координатам точки М. Итак:

1) для того чтобы найти направление площадки, по которой действуют напряжения и та, надо точку М (с координатами соединить прямой с полюсом С; искомая площадка параллельна этой прямой;

2) для того чтобы найти напряжения, действующие в некоторой площадке, необходимо из полюса С провести прямую, параллельную этой площадке, до пересечения с окружностью (кругом Мора); абсцисса точки пересечения равна (в принятом масштабе) нормальному напряжению а ордината — касательному напряжению та в заданной площадке.

Круг Мора строят указанным выше способом как при так и при (тхсгу, независимо от того, являются боковые грани элементарного параллелепипеда вертикальными, горизонтальными или наклонными.

На рис. 9.3, б и 10.3, б показаны круги Мора для напряженных состояний, изображенных на рис. 9.3, а и 10.3, а соответственно.

С помощью круга Мора легко можно определить положения главных площадок и величины главных напряжений. Способ их определения рассмотрим на примере круга Мора, изображенного на рис. 11.3, б, построенного для напряженного состояния, показанного на рис. 11.3, а.

По главным площадкам касательные напряжения, как известно, равны нулю, а потому точки 1 и 2 круга Мора, соответствующие этим площадкам, расположены на оси абсцисс (оси а). Абсциссы точек и 2 равны величинам главных напряжений .

Рис. 9.3

Для определения направлений главных площадок следует точки и 2 соединить лучами с полюсом С (рис. 11.3,б). Напряжение сттах, определяемое точкой действует по площадке, параллельной лучу а напряжение , определяемое точкой параллельной лучу

Рис. 10.3

Выведем с помощью круга Мора общее выражение для величин главных напряжений. Из рис. 11.3, б следует, что

Подставим в это выражение значение R по формуле (20.3):

Это выражение совпадает с формулой (12.3), полученной в § 3.3 другим путем.

С помощью круга Мора легко определить и экстремальные касательные напряжения. На рис. 11.3, б отмечены точки 3 и 4, соответствующие площадкам, по которым действуют эти напряжения. Напряжение ттах действует по площадке, параллельной лучу — параллельной лучу Они равны

Из рис. 11.3, б видно, что углы между главными площадками и площадками с экстремальными значениями касательных напряжений (площадками сдвига) равны вписанным углам которые опираются на равные дуги в одну четверть длины окружности и, следовательно, равны 45°.

Рис. 11.3

Из рис. 11.3, б видно также, что нормальные напряжения в площадках сдвига равны абсциссе центра круга Мора, т. е.