§ 2.16. РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ

Толстостенным называется такой цилиндр, для которого отношение толщины стенки к внутреннему диаметру не менее 1/20.

Рассмотрим задачу о расчете толстостенного цилиндра, подвергающегося действию равномерно распределенных наружного давления и внутреннего давления (рис. 3.16, а). Такая нагрузка не может вызывать деформации изгиба цилиндра.

При расчете толстостенных цилиндров нормальные напряжения в сечениях плоскостями, проходящими через ось О симметрии (см. рис. 3.16, а), нельзя считать равномерно распределенными по толщине стенки, как это делается при расчете тонкостенных цилиндров.

Рис. 3.16

Нормальные напряжения действующие по цилиндрической поверхности с радиусом (см. рис. 3.16, а), могут быть того же порядка и даже превышать величины напряжений что при тонкостенных цилиндрах невозможно. Поэтому расчет толстостенных цилиндров нельзя производить по формуле (1.16), применяемой при расчете тонкостенных осесимметричных оболочек.

В связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки нормальные напряжения и являются главными напряжениями; в площадках, по которым они действуют, касательные напряжения равны нулю.

Третьим главным напряжением в каждой точке толстостенного цилиндра является напряжение действующее по площадке, совпадающей с поперечным сечением цилиндра, т. е. с сечением плоскостью, перпендикулярной его оси симметрии.

При выводе расчетных формул рассмотрим открытые цилиндры, т. е. цилиндры, не имеющие днищ. Напряжения в таких цилиндрах равны нулю.

Точное решение, выполненное методами теории упругости, показывает, что поперечные сечения цилиндра, плоские до его нагружения, остаются плоскими и после нагружения и что, следовательно, относительная деформация в направлении оси симметрии одинакова во всех точках поперечного сечения. На основании обобщенного закона Гука при

при

откуда

Из формулы (3.16) следует, что сумма напряжений о, и одинакова для всех точек цилиндра.

На рис. изображен элемент, выделенный из толстостенного цилиндра двумя цилиндрическими поверхностями радиусами , двумя плоскостями, проходящими через ось О симметрии цилиндра и образующими друг с другом угол и двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном единице. Все грани элемента совпадают с главными площадками.

Составим условие равновесия элемента в виде суммы проекций действующих на него сил на нормаль к цилиндрическим поверхностям, проведенную через их центры:

Сокращая это выражение на и пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка, находим

Заменим в этом уравнении на [см. выражение (3.16)]:

или, учитывая, что

получаем

Проинтегрировав последнее уравнение, найдем

где С — постоянная интегрирования.

Постоянные А и С определим из граничных условий на поверхностях цилиндра:

а) на внутренней поверхности цилиндра, т. е. при и, следовательно,

б) на наружной поверхности цилиндра, т. е. при и, следовательно,

Решив совместно уравнения (5.16) и (6.16), найдем:

Подставим найденные выражения и С в уравнение (4.16). После преобразований

После подстановки в уравнение (3.16) выражения

Равенства (7.16) и (8.16) носят название формул Ламе. В этих формулах расстояние от точки до оси цилиндра учитывается членами стоящими в круглых скобках.

Рис. 4.16

Величины выражений в круглых скобках положительны при любых значениях г.

Следовательно, при действии на цилиндр только наружного или внутреннего давления знаки напряжений (а также и 09) во всех точках цилиндра одинаковы. В частности, при действии только наружного давления (рис. 4.16, а) напряжения во всех точках цилиндра отрицательны (сжатие); при действии же только внутреннего давления (рис. 4.16, б) напряжения во всех точках цилиндра отрицательны (сжатие), а — положительны (растяжение).

Выведем формулу для определения радиального перемещения и произвольной точки цилиндра (расположенной на расстоянии от оси его симметрии). Для этого выразим через и относительную деформацию в направлении, перпендикулярном радиусу (в окружном направлении):

На основании обобщенного закона Гука (при

Подставив в это уравнение значения [из выражений (7.16) и (8.16)], найдем

Положительное значение и указывает, что точка смещается по радиусу от оси симметрии цилиндра.

Для того чтобы определить увеличения (в результате деформации) внутреннего радиуса цилиндра и наружного радиуса в формулу (9.16) вместо надо подставить соответственно значения . В результате такой подстановки получим:

(10.16)

В случае закрытого цилиндра (цилиндра с днищем) формулы (7.16) и (8.16) для напряжений остаются без изменения, а напряжения в поперечных сечениях цилиндра определяются по формуле

Формула для радиального перемещения и в этом случае имеет

(13.16)

Наиболее часто толстостенные цилиндры находятся под действием внутреннего давления.

Из формул (7.16) и (8.16) следует, что при действии только внутреннего давления напряжения в любых точках цилиндра положительны и по абсолютной величине больше напряжений (которые отрицательны).

Наибольшей величины напряжения достигают у точек внутренней поверхности цилиндра, где они равны . В остальных точках напряжения меньше этого значения (см. эпюру на рис. 4.16, б). Наибольшее значение 09 можно уменьшить путем применения составных толстостенных цилиндров, состоящих из нескольких более тонких труб, надетых друг на друга (рис. 5.16).

Рис. 5.16

Вторая труба (рис. 5.16) изготовляется с внутренним диаметром, несколько меньшим наружного диаметра первой (внутренней) трубы, а третья — с внутренним диаметром, меньшим наружного диаметра второй трубы, и т. д. Разница (до сборки) между наружным диаметром внутренней трубы и внутренним диаметром надеваемой на нее трубы, принятая при их изготовлении, называется натягом.

Перед надеванием второй трубы на первую ее нагревают настолько, чтобы внутренний диаметр, увеличившись от нагрева, стал несколько больше наружного диаметра первой трубы. В процессе остывания вторая труба (внутренний диаметр которой при остывании уменьшается) оказывает на первую внешнее давление и сжимает ее. Аналогично на вторую трубу насаживают третью и т. д. Такой способ насадки одной трубы на другую называют посадкой с натягом. В результате натяга в трубах возникают начальные напряжения. Чем больше величина натяга, тем больше начальные напряжения.

Способ уменьшения напряжений и, следовательно, повышения прочности толстостенного цилиндра путем замены сплошного цилиндра составным предложен в середине прошлого века академиком А. В. Гадолиным.

В качестве примера рассмотрим составной цилиндр из трех труб со стенками одинаковой толщины, собранных с натягом (рис. 6.16, а). Цилиндр находится под действием внутреннего давления Радиусы труб равны: см и см.

Если бы рассматриваемый цилиндр был не составным, а сплошным, то распределение напряжений и вдоль радиуса определялось следующими выражениями, полученными из формул (7.16) и (8.16):

где — расстояние от оси цилиндра, см.

(см. скан)

Рис. 6.16.

Эпюры построенные с помощью этих выражений, изображены на рис. 6.16,б. Такие же напряжения возникают и в составном цилиндре от внутреннего давления (если не учитывать начальные напряжения от натяга).

Обозначим нормальное давление между наружной поверхностью первой трубы и внутренней поверхностью второй трубы, а - давление между наружной поверхностью второй и внутренней поверхностью третьей трубы.

Давления возникают в результате посадки с натягом второй трубы на первую и третьей на вторую.

На рис. 6.16, в, г изображены эпюры напряжений от давлений Ординаты этих эпюр подсчитаны по формулам (7.16) и (8.16); при этом раздельно рассмотрено действие давления на первую и вторую трубы, а давления вторую и третью трубы.

Величины полных напряжений, действующих в составном цилиндре (от внутреннего давления и натяга), можно получить алгебраическим суммированием соответствующих ординат эпюр, изображенных на рис. 6.16, 6, в, г. Так, например, полные напряжения в точках, расположенных в непосредственной близости от точек 1,2 и -справа от них (рис. 6.16, а), равны:

Величины давлений вызванных натягом, выберем с таким расчетом, чтобы распределение напряжений вдоль радиуса цилиндра было по возможности более равномерным. Для этого необходимо, чтобы напряжения в точках, отстоящих от оси цилиндра на расстояниях были одинаковы, т. е.

Из равенства

находим

Подставив выражение в равенство и решив его, получим

и, следовательно,

Величины полных напряжений в составном цилиндре можно определить путем суммирования напряжений от внутреннего давления (рис. 6.16,б) с напряжениями от натяга (рис. 6.16, в, г): при

при см

слева от точки 2

справа от точки 2

при

слева от точки 3

справа от точки 3

при

По полученным значениям на рис. 6.16,д построены эпюры полных напряжений в составном цилиндре.

Площадь эпюры (рис.

6.16, д) равна площади эпюры от внутреннего давления (рис. 6.16, б), однако напряжения распределены более равномерно. В результате этого наибольшее растягивающее напряжение в материале цилиндра уменьшается от 1381 до 861 кгс/см.

Для того чтобы после сборки рассмотренного составного цилиндра (рис. 6.16) между первой и второй трубами на поверхности их соприкосновения (контакта) возникло давление а между второй и третьей трубами — давление необходимо при изготовлении внутренний радиус второй трубы сделать на некоторую величину 62 меньше наружного радиуса первой, а внутренний радиус третьей трубы — на некоторую величину меньше наружного радиуса второй (рис. 7.16, а).

Рис. 7.16

Если к трубам до их сборки приложить давления то в результате деформации наружный радиус первой трубы станет равен внутреннему радиусу второй, а наружный радиус второй — внутреннему радиусу третьей (рис. 7.16, б). Следовательно, величины равны:

здесь уменьшение наружного радиуса первой трубы от давления - увеличение внутреннего радиуса второй трубы от давлений - уменьшение наружного радиуса второй трубы от давлений - увеличение внутреннего радиуса третьей трубы от давления (рис. 7.16, а, 6).

По формулам (10.16) и (11.16) находим:

Подставив выражения в формулы для после преобразования получим:

Подставим в формулы (14.16) числовые значения величин (принимаем ):

Таким образом, вторая труба должна быть изготовлена с внутренним радиусом, меньшим на см наружного радиуса первой трубы, а третья труба — с внутренним радиусом, меньшим на см наружного радиуса второй трубы. При выполнении этих условий в составном цилиндре после его сборки возникнут необходимые начальные напряжения, а при действии внутреннего давления полные напряжения будут равны напряжениям, показанным на рис. 6.16, д.

Если, например, первая труба изготовляется с наружным радиусом, равным 15 см, то внутренний радиус второй трубы следует брать равным 14,9961 см; если же вторая труба изготовлена с внутренним радиусом 15 см, то наружный радиус первой трубы следует брать равным 15,0039 см и т. д.