§ 2.17. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Рассмотрим стержень постоянного сечения, закрепленный верхним концом и растягиваемый силой Р, приложенной к нижнему концу (рис. 3.17). Предельной нагрузкой для этого стержня является такая, которая вызывает во всех точках поперечных сечений напряжения, равные т. е. где F — площадь поперечного сечения стержня.

Рис. 3.17

Предельно допускаемую нагрузку определим, разделив на коэффициент запаса

но

и, следовательно,

Таким образом, в рассматриваемом случае предельно допускаемая нагрузка равна допускаемой. Это характерно и для расчета любых статически определимых систем, состоящих из центрально растянутых и центрально сжатых стержней.

При расчете на центральное растяжение и сжатие статически неопределимых стержневых систем, а также при других видах деформации (изгиб, кручение, внецентренное растяжение и т. д.) предельно допускаемая нагрузка отличается от допускаемой нагрузки

Рассмотрим статически неопределимый стержень длиной жестко закрепленный обоими концами и нагруженный силон Р, как показано на рис. 4.17, а.

При силе Р, вызывающей во всех поперечных сечениях стержня напряжения, меньшие предела текучести реакции опорных закреплений определяются расчетом стержня по упругой стадии (т. е. методами, рассмотренными в гл. 2). Эти реакции равны:

Напряжения в поперечных сечениях участка длиной а и напряжения в сечениях участка длиной b при этом равны:

Напряжения по абсолютной величине в два раза больше напряжений Поэтому при увеличении силы Р напряжения раньше достигают предела текучести, чем напряжения .

Из условия устанавливаем, что это происходит в случае, когда При этом несущая способность стержня еще полностью не исчерпана, так как в верхней части стержня (на участке длиной а) напряжения в это время равны

т. e. вдвое меньше предела текучести.

При дальнейшем увеличении силы Р напряжения остаются постоянными, равными а напряжения возрастают, пока также нне становятся равными .

Рис. 4.17

При этом несущая способность стержня полностью исчерпана. Этому предельному состоянию стержня соответствует сила равная не становятся равными

Таким образом, допускаемая нагрузка

а предельно допускаемая нагрузка

т. е. на 33% больше.

Предельную нагрузку стержня, изображенного на рис. 4.17, а, можно определить, не рассматривая характера его работы в упругой стадии и постепенного перехода от этой стадии к предельному состоянию.

Для этого надо отбросить верхнее и нижнее закрепления стержня, заменить их предельными значениями реакций и и составить уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось (рис. 4.17, б):

откуда

В случае разгрузки стержня (т. е. после снятия силы ) напряжения в верхней его части (над сечением ) и в нижней одинаковы (обозначим их ), так как только в таком случае возможно равновесие участка стержня, включающего сечение (рис. 4.17, в). В процессе разгрузки сечение в котором приложена сила Р, перемещается вверх на некоторую величину Д, но не доходит до своего первоначального положения. При разгрузке напряжения в верхней части рассматриваемого стержня, расположенной над сечением изменяются на величину вдвое меньшую, чем в нижней части (где они изменяются на величину ); это объясняется тем, что при одной и той же абсолютной деформации Д обеиэ; частей относительна, деформация нижней части вдвое больше, чем верхней, а при разгрузке материал ведет себя как упругий (см. об этом в § 1.17).

Следовательно,

откуда

Таким образом, после разгрузки стержня в нем остаются растягивающие напряжения, равные

Наличие напряжений после снятия нагрузки является особенностью конструкций, предварительно нагруженных до предельного состояния или до появления текучести в отдельных их элементах; исключением из этого правила являются статически определимые системы, элементы которых испытывают только центральное растяжение или сжатие.

Если рассмотренный стержень сделать по длине больше расстояния между верхней и нижней заделками на величину , то после сборки конструкции весь стержень окажется сжатым и в нем возникнут начальные (монтажные) сжимающие напряжения; эти напряжения в зависимости от отношения будут меньше или равны пределу текучести. После нагрузки стержня силой Р (рис. 4.17, а), непрерывно возрастающей по величине, сечение, в котором эта сила приложена, станет опускаться. При этом будет происходить удлинение верхней части стержня (над силой Р) и укорочение нижней части. В конечном счете при предельном состоянии в поперечных сечениях верхней части стержня возникнут растягивающие напряжения, равные от, а в нижней части — сжимающие, также равные от. Предельная нагрузка в этом случае (так же как и в рассмотренном выше)

Таким образом, наличие в конструкции начальных напряжений (монтажных, температурных, вызванных осадкой опор, и др.) не влияет, на величину предельной нагрузки; аналогично величина предельной нагрузки не зависит от наличия в конструкции начальных зазоров (исчезающих при воздействии внешней нагрузки), от податливости опорных закреплений.

Так, например, если рассмотренный стержень (рис. 4.17, а) прикрепить только к верхней плите, а между его нижним концом и нижней плитой будет зазор, равный А (рис. 4.17, г), то и в этом случае предельная нагрузка

Рис. 5.17

Определим предельное значение силы Р для симметричной системы, состоящей из трех стержней, нижние концы которых соединены общим шарниром (рис. 5.17, а). В предельном состоянии при исчерпании несущей способности нижний шарнир, к которому приложена сила смещается по вертикали и в поперечных сечениях всех трех стержней системы возникают напряжения, равные пределу текучести. При этом усилия в крайних стержнях с площадью равны в среднем стержне усилие равно (рис. 5.17, б). Предельное значение силы Р найдем из уравнения равновесия:

откуда

При напряжениях во всех стержнях системы (рис. 5.17, а), меньших предела текучести (т. е. когда ), наибольшие напряжения возникают в поперечных сечениях среднего стержня, где

При эти напряжения

откуда

Определим по формулам (2.17) и (3.17) отношение при

Таким образом, расчет по несущей способности позволяет существенно увеличить нагрузку на сооружение.

Рис. 6.17

Рассмотрим теперь систему, также состоящую из трех стержней, соединенных внизу общим шарниром, и нагруженную силой Р, но несимметричную (рис. 6.17, а). Предположим, что в предельном состоянии напряжения в поперечных сечениях всех трех стержней равны пределу текучести от, т. е. усилия в каждом из стержней AD, BD и CD равны (рис. ). Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил (действующих на шарнир D) на горизонтальную ось

Таким образом, при сделанном предположении шарнир не находится в равновесии; следовательно, во всех трех стержнях одновременно напряжения не могут быть равны пределу текучести. Аналогично равнозесие шарнира D невозможно и тогда, когда напряжения в стержнях AD и CD равны пределу текучести, а в стержне BD меньше предела текучести. Следовательно, и такая схема предельного состояния невозможна.

На рис. 6.17,в показаны усилия, действующие на узел D в случае, когда в предельном состоянии системы напряжения в стержнях BD и CD равны пределу текучести. Для этого случая из уравнения равновесия

получаем

Между тем усилие NAD не может быть больше своего предельного значения, равного Следовательно, предположение о том, что напряжения в стержнях BD и CD одновременно равны пределу текучести, также неправильно.

Рассмотрим еще один вариант схемы предельного состояния системы. Предположим, что в предельном состоянии в стержнях AD и BD напряжения равны пределу текучести (рис. 6.17, г). В этом случае из уравнения равновесия

получаем

Это усилие в стержне CD меньше предельной величины, равной и, следовательно, оно может возникать в стержне. Таким образом, при предельном состоянии системы в ее стержнях возникают усилия, показанные на рис. 6.17, г.

Предельное значение силы Р найдем из уравнения равновесия (рис. 6.17, г):

После подстановки в это уравнение значения

Решим теперь эту задачу другим способом. Рассчитаем заданную статически неопределимую систему (рис. 6.17, а) по упругой стадии, т. е. в предположении, что напряжения в стержнях меньше предела текучести (подобные задачи рассмотрены в § 9.2). В результате этого расчета (который здесь не приводим) получаем следующие значения нормальных напряжений в стержнях:

в стержне

в стержне

в стержне

Наибольшие напряжения возникают в стержне BD. Следовательно, в нем раньше, чем в остальных стержнях, возникнут напряжения, равные пределу текучести Это произойдет при нагрузке удовлетворяющей уравнению

откуда

При нагрузке напряжения в стержнях AD и CD равны:

Дополнительная нагрузка (сверх будет вызывать дополнительные напряжения только в стержнях AD и CD, так как стержень BD находится в предельном состоянии уже от нагрузки и дальнейшего возрастания напряжений в нем не может быть. Поэтому для определения дополнительных напряжений и следует рассчитать систему, состоящую только из стержней AD и CD, т. е. статически определимую систему (рис. 7.17).

Рис. 7.17

В результате ее расчета устанавливаем, что в стержнях этой системы от нагрузки ДР возникают дополнительные напряжения: в стержне

в стержне

Полные напряжения (от нагрузки и ) в стержнях AD и CD при условии, что оба они работают в упругой стадии, равны:

Установим, при каком значении АР напряжения в стержнях AD и CD достигнут предела текучести: в стержне

откуда

в стержне

откуда

Следовательно, в стержне AD напряжения от возникнут раньше, чем в стержне CD, при меньшем значении АР, равном При этом значении АР наступит предельное состояние не только стержня AD, но также и всей системы. Действительно, дальнейшее увеличение нагрузки Р будет невозможно, так как усилия в стержнях AD и BD (достигшие уже своих предельных значений) возрастать более не могут, а при увеличении усилия только в стержне CD не будет обеспечено равновесие узла b.

Предельное значение нагрузки равно сумме величин :

Этот результат совпадает с результатом, полученным выше другим способом.

Теперь решим эту задачу (см. рис. 6.17, а) третьим способом. Используем при этом общее положение о том, что действительным значением предельной нагрузки всегда является меньшее из подсчитанных для различных возможных вариантов схем предельного состояния системы Использование этого положения часто (не только при растяжении и сжатии стержней, но также при их изгибе и других видах деформаций) позволяет наиболее просто определять значения предельных нагрузок.

Варианты схем предельного состояния, при которых не удовлетворяются условия равновесия узла D, невозможны, а потому здесь не рассматриваются. Для двух возможных вариантов, показанных на рис. 6.17, б, г, определяем значения

а) для варианта, изображенного на рис. 6.17, в, проектируя на направление CD все силы, действующие на узел D, получаем

откуда

б) для варианта, изображенного на рис. 6.17, г, проектируя на направление AD все силы, действующие на узел D, получаем

откуда

Наименьшее из полученных значений определяет действительную величину предельной нагрузки. Этот результат совпадает с результатом, полученным выше.