§ 8.7. ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

При поперечном изгибе в поперечном сечении бруса (балки), кроме изгибающего момента, действует также поперечная сила. Если поперечный изгиб является прямым, то изгибающий момент действует в плоскости, совпадающей с одной из главных плоскостей бруса.

Поперечная сила при этом обычно параллельна плоскости действия изгибающего момента и, как показано ниже (см. § 12.7), проходит через определенную точку поперечного сечения, называемую центром изгиба. Положение центра изгиба зависит от формы и размеров поперечного сечения бруса. При поперечном сечении, имеющем две оси симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.

Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что формулы, полученные для случая прямого чистого изгиба, применимы и при прямом поперечном изгибе.

Рис. 37.7

Рис. 38.7

Поперечная сила, действующая в сечении бруса, связана с касательными напряжениями, возникающими в этом сечении, зависимостью

где — составляющая касательного напряжения в поперечном сечении бруса, параллельная оси у и силе

Величина представляет собой элементарную касательную силу (параллельную силе Q), действующую на элементарную площадку поперечного сечения бруса.

Рассмотрим некоторое поперечное сечение бруса (рис. 37.7). Касательные напряжения в точках около контура сечения направлены по касательной к контуру. Действительно, если бы касательное напряжение имело составляющую, направленную по нормали к контуру, то по закону парности касательных напряжений такое же напряжение возникло бы и на боковой поверхности бруса, что невозможно, так как боковая поверхность свободна от напряжений.

Касательное напряжение в каждой точке сечения можно разложить на две составляющие: .

Рассмотрим определение составляющих ту. Определение составляющих рассмотрено в § 12.7 только для некоторых типов поперечных сечений.

Предполагается, что составляющие касательных напряжений по всей ширине сечения в направлении, параллельном оси , одинаковы (рис. 37.7), т. е. что величина изменяется только по высоте сечения.

Для определения вертикальных составляющих касательных напряжений выделим из балки постоянного сечения, симметричного относительно оси у, элемент 1-2-3-4 двумя поперечными сечениями, проведенными на расстояниях от левого конца балки, и одним сечением, параллельным нейтральному слою, отстоящим от него на расстояние (рис. 38.7).

Рис. 39.7

В поперечном сечении балки с абсциссой действует изгибающий момент М, а с абсциссой -момент М В соответствии с этим нормальные напряжения а и , действующие по площадкам 1-2 и 3-4 выделенного элемента, определяются выражениями [см. формулу (17.7)]

Эпюры нормальных напряжений действующих по площадкам 1-2 и 3-4 при положительном значении М, показаны на рис. 39.7. По этим же площадкам действуют и касательные напряжения также показанные на рис. 39.7. Величина этих напряжений изменяется по высоте сечения.

Обозначим величину касательного напряжения в нижних точках площадок 1-2 и 3-4 (на уровне ). По закону парности касательных напряжений следует, что такие же по величине касательные напряжения действуют по нижней площадке 1-4 выделенного элемента. Нормальные напряжения по этой площадке считаются равными нулю, так как в теории изгиба предполагается, что продольные волокна балки не оказывают друг на друга давления.

Площадку 1-2 или 3-4 (рис. 39.7 и 40.7), т. е. часть поперечного сечения, расположенную выше уровня (выше площадки 1-4), называют отсеченной частью поперечного сечения. Ее площадь обозначим

Составим уравнение равновесия для элемента 1-2-3-4 в виде суммы проекций всех приложенных к нему сил на ось балки:

(27.7)

Здесь - равнодействующая элементарных сил возникающих по площадке 1-2 элемента; - равнодействующая элементарных сил возникающих по площадке 3-4 элемента; - равнодействующая элементарных касательных сил, возникающих по площадке 1-4 элемента; - ширина поперечного сечения балки на уровне у

Рис. 40.7

Подставим в уравнение (27.7) выражения по формулам (26.7):

или

Но на основании теоремы Журавского [формула (6.7)]

Поэтому

откуда

Интеграл представляет собой статический момент площади относительно нейтральной оси поперечного сечения балки.

Следовательно,

По закону парности касательных напряжений напряжения в точках поперечного сечения балки, отстоящих на расстояние от нейтральной оси, равны (по абсолютной величине) т. е.

Таким образом, величины касательных напряжений в поперечных сечениях балки и в сечениях ее плоскостями, параллельными нейтральному слою, определяются по формуле

Здесь Q — поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; - статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от уровня, на котором определяются касательные напряжения; J — момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси; — ширина поперечного сечения балки на том уровне, на котором определяются касательные напряжения .

Выражение (28.7) называется формулой Журавского.

Определение касательных напряжений по формуле (28.7) производится в следующем порядке:

1) проводится поперечное сечение балки;

2) для этого поперечного сечения определяются значения поперечной силы Q и величина J момента инерции сечения относительно главной центральной оси, совпадающей с нейтральной осью;

3) в поперечном сечении на уровне, для которого определяются касательные напряжения, параллельно нейтральной оси проводится прямая, отсекающая часть сечения; длина отрезка этой прямой, заключенного внутри контура поперечного сечения, представляет собой ширину , входящую в знаменатель формулы (28.7);

4) вычисляется статический момент S отсеченной (расположенной по одну сторону от прямой, указанной в п. 3) части сечения относительно нейтральной оси;

5) по формуле (28.7) определяется абсолютное значение касательного напряжения . Знак касательных напряжений в поперечном сечении балки совпадает со знаком поперечной силы, действующей в этом сечении. Знак же касательных напряжений в площадках, параллельных нейтральному слою, противоположен знаку поперечной силы.

Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоугольном поперечном сечении балки, изображенном на рис. 41.7, а. Поперечная сила в этом сечении действует параллельно оси у и равна

Момент инерции поперечного сечения относительно оси

Для определения касательного напряжения в некоторой точке С проведем через эту точку прямую 1-1, параллельную оси (рис. 41.7, а).

Определим статический момент S части сечения, отсеченной прямой 1-1, относительно оси . За отсеченную можно принимать как часть сечения, расположенную выше прямой 1-1 (заштрихованную на рис. 41.7, а), так и часть, расположенную ниже этой прямой.

Для верхней части

Подставим в формулу (28.7) значения Q, S, J и b:

Из этого выражения следует, что касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по закону квадратной параболы. При напряжения Наибольшие напряжения имеются в точках нейтральной оси, т. е. при

где — площадь поперечного сечения.

Рис. 41.7

Таким образом, в случае прямоугольного сечения наибольшее касательное напряжение в 1,5 раза больше среднего его значения, равного Эпюра касательных напряжений, показывающая их изменение по высоте сечения балки, изображена на рис. 41.7, б.

Для проверки полученного выражения [см. формулу (29.7)] подставим его в равенство (25.7):

Полученное тождество свидетельствует о правильности выражения (29.7).

Параболическая эпюра касательных напряжений, показанная на рис. 41.7, б, является следствием того, что при прямоугольном сечении статический момент отсеченной части сечения изменяется с изменением положения прямой 1-1 (см. рис. 41.7, а) по закону квадратной параболы.

При сечениях любой другой формы характер изменения касательных напряжений по высоте сечения зависит от того, по какому закону изменяется отношение при этом, если на отдельных участках высоты сечения ширина b постоянна, то напряжения на этих участках изменяются по закону изменения статического момента

В точках поперечного сечения балки, наиболее удаленных от нейтральной оси, касательные напряжения равны нулю, так как при определении напряжений в этих точках в формулу (28.7) подставляется значение статического момента отсеченной части сечения, равное нулю.

Рис. 42.7

Величина 5 достигает максимума для точек, расположенных на нейтральной оси, однако касательные напряжения при сечениях с переменной шириной b могут не быть максимальными на нейтральной оси. Так, например, эпюра касательных напряжений для сечения, изображенного на рис. 42.7, а имеет вид, показанный на рис. 42.7, б.

Касательные напряжения, возникающие при поперечном изгибе в плоскостях, параллельных нейтральному слою, характеризуют собой силы взаимодействия между отдельными слоями балки; эти силы стремятся сдвинуть соседние слои друг относительно друга в продольном направлении.

Если между отдельными слоями балки не имеется достаточной связи, то такой сдвиг произойдет. Например, доски, положенные друг на друга (рис. 43.7, а), будут сопротивляться внешней нагрузке, как целый брус (рис. 43.7, б), пока усилия по плоскостям соприкасания досок не превысят сил трения между ними. Когда же силы трения будут превзойдены, то доски сдвинутся одна по другой, как это показано на рис. 43.7, в. При этом прогибы досок резко увеличатся.

Касательные напряжения, действующие в поперечных сечениях балки и в сечениях, параллельных нейтральному слою, вызывают деформации сдвига, в результате которых прямые углы между этими сечениями искажаются, т. е. перестают быть прямыми. Наибольшие искажения углов имеются в тех точках поперечного сечения, в которых действуют наибольшие касательные напряжения; у верхнего и нижнего краев балки искажения углов отсутствуют, так как касательные напряжения там равны нулю.

В результате деформаций сдвига поперечные сечения балки при поперечном изгибе искривляются. Однако это существенно не влияет на деформации продольных волокон, а следовательно, и на распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях балки.

Рассмотрим теперь распределение касательных напряжений в тонкостенных балках с поперечными сечениями, симметричными относительно оси у, по направлению которой действует поперечная сила Q, например, в балке двутаврового сечения, изображенной на рис. 44.7, а.

Для этого по формуле Журавского (28.7) определим касательные напряжения в некоторых характерных точках поперечного сечения балки.

Рис. 43.7

Рис. 44.7

В верхней точке 1 (рис. 44.7, а) касательные напряжения так как вся площадь поперечного сечения расположена ниже этой точки, а потому статический момент 5 относительно оси (части площади сечения, расположенной выше точки 1) равен нулю.

В точке 2, расположенной непосредственно над линией, проходящей через нижнюю грань верхней полки двутавра, касательные напряжения, подсчитанные по формуле (28.7),

Между точками 1 и 2 напряжения [определяемые по формуле (28.7)] изменяются по квадратной параболе, как для прямоугольного сечения. В стенке двутавра в точке 3, расположенной непосредственно под точкой 2, касательные напряжения

Так как ширина b полки двутавра значительно больше толщины d вертикальной стенки, то эпюра касательных напряжений (рис. 44.7, б) имеет резкий скачок в уровне, соответствующем нижней грани верхней полки. Ниже точки 3 касательные напряжения в стенке двутавра изменяются по закону квадратной параболы, как для прямоугольника. Наибольшие касательные напряжения возникают на уровне нейтральной оси:

Эпюра касательных напряжений, построенная по полученным значениям и , изображена на рис. 44.7, б; она симметрична относительно ординаты .

Согласно этой эпюре, в точках, расположенных у внутренних граней полок (например, в точках 4 на рис. 44.7, а), действуют касательные напряжения перпендикулярные к контуру сечения. Но, как уже отмечалось, такие напряжения около контура сечения возникать не могут. Следовательно, предположение о равномерном распределении касательных напряжений по ширине b поперечного сечения, положенное в основу вывода формулы (28.7), неприменимо к полкам двутавра; оно неприменимо и к некоторым элементам других тонкостенных балок.

Касательные напряжения ту в полках двутавра определить методами сопротивления материалов нельзя. Эти напряжения весьма невелики по сравнению с напряжениями ту в стенке двутавра. Поэтому их не учитывают и эпюру касательных напряжений строят только для стенки двутавра, как показано на рис. 44.7, в.

В некоторых случаях, например при расчете составных балок, определяют величину Т касательных сил, действующих в сечениях балки, параллельных нейтральному слою и приходящихся на единицу ее длины. Эту величину найдем, умножив значение напряжения на ширину сечения b:

Подставим значение по формуле (28.7):