§ 3.17. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

При кручении прямого круглого бруса в его поперечных сечениях возникают только касательные напряжения т. Эти напряжения распределены вдоль радиуса поперечного сечения по линейному закону: в центре сечения они равны нулю (рис. 8.17, а), а в точках наружного контура достигают наибольшего значения [см. § 2.6, формула (8.6)].

Рис. 8.17

Такое распределение напряжений происходит лишь в случае, когда величина ттах не превышает предела текучести материала при сдвиге т. е. когда крутящий момент не превышает величины

при сплошном сечении или

при кольцевом сечении; здесь - отношение внутреннего диаметра кольца к наружному.

При некотором возрастании крутящего момента сверх величины напряжения, равные пределу текучести возникают не только у наружной поверхности бруса, но и в некоторой зоне поперечного сечения, имеющей форму кольца. В средней части сечения (внутри кольцевой зоны) напряжения ниже предела текучести, т. е. материал в этой части находится еще в упругом состоянии (рис. 8.17,б). С увеличением крутящего момента ширина а кольцевой (пластической) зоны возрастает; при некотором предельном значении момента соответствующем полному исчерпанию несущей способности стержня, зона упругого состояния материала исчезает, а зона пластического состояния материала занимает всю площадь поперечного сечения. При этом во всех точках сечения напряжения равны пределу текучести (рис. 8.17, б).

Для определения величины выделим в поперечном сечении бруса элементарную площадку отстоящую на расстоянии от центра сечения (рис. 8.17, в). Элементарная касательная сила, действующая на эту площадку в предельном состоянии, равна а ее момент относительно центра сечения

откуда

где — пластический полярный момент сопротивления поперечного сечения.

Рис. 9.17

Для определения величины пластического полярного момента сопротивления выделим в круглом поперечном сечении кольцо, внутренний радиус которого р, а наружный радиус (рис. 9.17). Пластический полярный момент сопротивления этого кольца

где - площадь рассматриваемого кольца, равная

Пластический полярный момент сопротивления всего поперечного сечения

Подставим значение по формуле (7.17) в выражение (6.17):

Определим величину отношения [см. выражения (8.17) и (4.17)]:

Если скручиваемый брус является статически определимым, то после снятия нагрузки, вызвавшей в нем моменты крутящие моменты в поперечных сечениях стержня равняются нулю. Несмотря на это, стержень находится в напряженном состоянии.

Рис. 10.17

При разгрузке на касательные напряжения, распределенные вдоль радиуса по прямоугольной эпюре (см. рис. 8.17, в), накладываются напряжения противоположного знака, распределенные по треугольной эпюре (см. рис. 8.17, я), так как при разгрузке (которую [можно рассматривать как нагрузку моментом обратного знака) материал ведет себя как упругий.

Момент, соответствующий прямоугольной эпюре [см. формулу (8.17)],

Момент, соответствующий треугольной эпюре, равен но имеет противоположное направление.

По формуле (8.6) для кручения в упругой стадии находим значение касательного напряжения у наружной поверхности стержня:

Вычитая из прямоугольной эпюры 1-2-3-4 с ординатами (см. рис. 8.17, г) треугольную эпюру 2-3-5 с наибольшей ординатой получаем эпюру касательных напряжении, состоящую из двух заштрихованных треугольников 1-2-6 и 4-5-6 разных знаков. Эта эпюра характеризует распределение напряжений в стержне после снятия нагрузки. При такой эпюре крутящий момент в сечении равен нулю.

При кручении круглого бруса с кольцевым сечением (трубы) предельный крутящий момент (соответствующий полному исчерпанию несущей способности стержня) определяется, так же как и для сплошного бруса, по формуле (6.17). Пластический полярный момент сопротивления подставляемый в эту формулу, для кольцевого сечения равен

При кручении бруса с поперечным сечением в виде относительно тонкого кольца и величине крутящего момента, равной опасному значению напряжения в поперечном сечении у наружной поверхности стержня равны а у внутренней — близки к Эпюра, показывающая распределение касательных напряжений (вдоль радиуса поперечного сечения) при опасном значении крутящего момента (рис.

10.17), мало отличается от эпюры при предельном значении момента.

Поэтому отношение для рассматриваемого кол ьцевого сечен и я близко к единице.