§ 6.3. ПОНЯТИЕ О ПРОСТРАНСТВЕННОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

В общем случае напряженного состояния через исследуемую точку нельзя провести ни одной площадки, по которой одновременно и касательное, и нормальное напряжения были бы равны нулю. Такое напряженное состояние называется пространственным, или трехосным, или объемным.

В курсе теории упругости доказывается, что при пространственном напряженном состоянии через каждую точку всегда можно провести три площадки, по которым касательные напряжения равны нулю.

Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по ним, — главными напряжениями. Все три главные площадки взаимно перпендикулярны. Наибольшее (в алгебраическом смысле) главное напряжение принято обозначать следующее по величине а наименьшее

Напряжение а, является максимальным а напряжение -минимальным ; нормальные напряжения по любым площадкам, проходящим через данную точку, имеют промежуточные значения между

Закон парности касательных напряжений, доказанный выше для плоского напряженного состояния, действителен и в случае пространственного напряженного состояния, однако в этом случае равны друг другу по абсолютной величине не полные касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам, а их составляющие, нормальные к линиям пересечения этих площадок (рис. 12.3).

Рис. 12.3

Рис. 13.3

Выделим в окрестности точки, напряжения в которой изучаются, элементарный кубик с гранями, параллельными главным площадкам (рис. 13.3, а). Проведем через кубик площадку, параллельную напряжению (на рис. 13.3, а эта площадка заштрихована). Величины нормальных и касательных напряжений, действующих по этой площадке, зависят только от напряжений о, и 03 и не зависят от напряжений поэтому для определения

Напряжения в любых площадках, параллельных главному напряжению можно также определить с помощью круга Мора, построенного по главным напряжениям . Этот круг изображен на рис. штриховой линией.

Аналогично напряжения в площадках, параллельных главному напряжению можно определить с помощью круга Мора, построенного по главным напряжениям а, и На рис. 13.3, б этот круг изображен сплошной линией. Кроме того, на рис. 13.3, б точками показан круг Мора, построенный по главным напряжениям позволяющий определить напряжения в площадках, параллельных главному напряжению

В курсе теории упругости доказывается, что напряжения а любых площадках определяются координатами точек, расположенных на заштрихованных участках (рис. 13.3, б). Так, например, абсцисса точки D равна нормальному напряжению , а ордината этой точки — касательному напряжению , действующим по площадке, не параллельной ни одному из главных напряжений.

Таким образом, три круга Мора (рис. 13.3, б) полностью характеризуют напряженное состояние в данной точке, т. е. дают возможность определить величины по любой проходящей через нее площадке.

Аналитически напряжения о любой площадке определяются по формулам:

Здесь — углы между нормалью к рассматриваемой площадке и нормалями к главным площадкам.

Если по формуле (22.3) определить нормальные напряжения по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам и сложить их значения, то сумма этих напряжений будет равна сумме главных напряжений

Таким образом, сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть постоянная величина.

Из круга Мора, построенного для пространственного напряженного состояния (рис. 13.3, б), следует, что экстремальные касательные напряжения действуют по площадкам, параллельным главному напряжению так как наибольшие по абсолютной величине ординаты принадлежат кругу, построенному по главным напряжениям и

Эти площадки наклонены к площадкам, по которым действуют главные напряжения под углами в 45°.

Значения экстремальных касательных напряжений

Рассмотрим напряженное состояние с напряжениями (рис. 14.3, а). Построимдля него соответственно три круга Мора III как для пространственного напряженного состояния (рис. 14.3, 6).

Рис. 14.3

Наибольшее касательное напряжение равно ординате точки а, расположенной на круге Мора (рис. 14.3, б), и действует в площадке, параллельной напряжению (она заштрихована на рис. 14.3, а).

При исследовании этого же напряженного состояния (рис. 14.3, а) как плоского, строится лишь один круг Мора, а именно круг для площадок, параллельных напряжению (рис. 14.3, б). Наибольшее касательное напряжение, найденное с помощью этого круга т. е. оно меньше, чем ттах. Напряжение тпах равно ординате точки b и является максимальным лишь для площадок, параллельных но не для рассматриваемого напряженного состояния в целом. Такое положение, однако, не может иметь места в тех случаях плоского напряженного состояния, когда не равные нулю главные напряжения имеют разные знаки, так как в этих случаях круг Мора, построенный для плоского напряженного состояния, совпадает с наибольшим из трех кругов Мора (с главным кругом), построенных для пространственного напряженного состояния.

При плоском и линейном напряженных состояниях главные напряжения часто обозначают так же, как и при пространственном, т. е.

При этом в случае плоского напряженного состояния одно из них, а в случае линейного — два из них равны нулю.

В зависимости от вида плоского напряженного состояния возможны следующие три случая:

а) оба не равных нулю главных напряжения положительны; в этом случае они обозначаются

б) оба не равных нулю главных напряжения отрицательны; в этом они обозначаются

в) не равные нулю главные напряжения имеют разные знаки — одно из них является растягивающим, а другое — сжимающим. В этом случае растягивающее главное напряжение обозначается а сжимающее

При одноосном растяжении не равно нулю только одно главное напряжение: Аналогично при одноосном сжатии