Глава 9. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

§ 1.9. КОСОЙ ИЗГИБ

К сложному сопротивлению относятся виды деформаций бруса, при которых в его поперечных сечениях одновременно возникает не менее двух внутренних силовых факторов. Исключением является прямой поперечный изгиб, который не принято рассматривать как случай сложного сопротивления, хотя при этом в сечениях и возникают два внутренних силовых фактора — изгибающий момент и поперечная сила. Этот вид деформации рассматривается как простой потому, что в подавляющем большинстве случаев расчеты на прочность и жесткость ведутся без учета влияния поперечных сил, т. е. по одному силовому фактору — изгибающему моменту (см. гл. 7).

Рассматриваемые ниже случаи сложного сопротивления можно разделить на две группы.

К первой группе относятся те случаи, при которых в опасных точках бруса напряженное состояние либо является одноосным, либо может приближенно рассматриваться как одноосное в связи с незначительным влиянием на прочность бруса касательных напряжений, возникающих в его поперечных сечениях. Поэтому в таких случаях при расчетах на прочность теории прочности не используются. К первой группе относятся косой изгиб, а также внецентренное растяжение и сжатие.

В случаях сложного сопротивления, относящихся ко второй группе, в опасных точках бруса возникает плоское напряженное состояние и расчет на прочность выполняется с применением теорий прочности. Ко второй группе относятся изгиб с кручением, сжатие (или растяжение) с кручением, а также сжатие (или растяжение) с изгибом и кручением.

Изучение сложного сопротивления начнем с простейшего из случаев, относящихся к первой группе, а именно с косого изгиба.

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. Элемент бруса, примыкающий к этому сечению, находится в условиях косого изгиба.

Случай косого изгиба, при котором в поперечном сечении бруса возникает лишь изгибающий момент, называется чистым косым изгибом. Если же в сечении действует, кроме того, поперечная сила, то имеется попеоечный косой изгиб.

На рис. 1.9 изображен брус с прямоугольным поперечным сечением, заделанный правым концом. К брусу на свободном конце приложена вертикальная сила а в сечении на расстоянии а от свободного конца — горизонтальная сила

В каждом поперечном сечении участка возникают изгибающий момент (относительно оси ), действующий в главной плоскости и поперечная сила на этом участке имеется прямой поперечный изгиб. В поперечном сечении участка II бруса с абсциссой действуют изгибающий момент в главной плоскости изгибающий момент в главной плоскости и поперечные силы

Рис. 1.9

Полный изгибающий момент действует в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей бруса. Следовательно, на участке II имеется поперечный косой изгиб.

Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух прямых изгибов, вызванных изгибающими моментами относительно главных центральных осей инерции поперечного сечения у и z.

На основании принципа независимости действия сил полные нормальные напряжения в поперечных сечениях участка II равны сумме напряжений от раздельного действия моментов Следовательно, в точке С поперечного сечения (рис. 1.9) полное нормальное напряжение

В формуле (1.9) перед первым членом правой части берется знак плюс, когда момент вызывает растяжение в точках сечения с положительными координатами у, а перед вторым членом — когда момент вызывает растяжение в точках с положительными координатами . В формулу (1.9) подставляются абсолютные значения изгибающих моментов.

На рис. 2.9, а показаны эпюры нормальных напряжений в поперечном сечении участка II бруса (см. рис. 1.9) от раздельного действия изгибающих моментов Эпюра а от совместного действия моментов показана в аксонометрии на рис.

Рис. 2.9

Полный изгибающий момент М связан с его составляющими зависимостями:

где а — угол между осью у и плоскостью действия полного момента (рис. 3.9).

Разделив третье из выражений (2.9) на второе, найдем

Если известны моменты действующие в поперечном сечении, то полный изгибающий момент М можно определить по первой из формул (2.9), а абсолютное значение угла формуле (3.9). Положение плоскости действия полного момента устанавливается затем с учетом того обстоятельства, что эта плоскость проходит через центр тяжести сечения и два квадранта, в которых оба момента, вызывают нормальные напряжения одного знака.

Например, на участке II бруса, изображенного на рис. 1.9, моменты (от силы ) (от силы ) вызывают в точке С квадранта растягивающие нормальные напряжения. Поэтому плоскость действия полного момента М проходит через квадрант (след ее показан на рис. 1.9).

Нормальное напряжение в при косом изгибе можно выразить через полный изгибающий момент М. Для этого подставим в формулу (1.9) значения выраженные через М [см. формулы (2.9)]:

В формуле (4.9) угол а считается положительным, когда плоскость действия полного изгибающего момента проходит через квадранты I и III это показано, например, на рис. 3.9).

Рис. 3.9

Знак плюс перед правой частью формулы ставится, когда момент М в точке А с координатами (рис. 3.9) вызывает растягивающее напряжение.

Выше было указано, что при косом изгибе вычисление касательных напряжений в поперечных сечениях бруса излишне, так как при расчетах на прочность они не имеют значения. Но их можно определить по формуле Журавского раздельно от поперечных сил

При прямом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения бруса и перпендикулярна плоскости изгибающего момента. При косом изгибе нормальные напряжения в центре тяжести поперечного сечения равны нулю, в чем легко убедиться, подставив в формулу (4.9) значения (т. е. координаты центра тяжести). Следовательно, при косом изгибе нейтральная ось, так же как и при прямом изгибе, проходит через центр тяжести поперечного сечения.

В отличие от прямого изгиба при косом изгибе нейтральная ось (нулевая линия) не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента.

Для того чтобы в этом убедиться, определим положение нейтральной оси поперечного сечения, показанного на рис. 4.9, при изгибающем моменте М, действующем в плоскости, наклоненной к главной оси инерции у под углом а.

На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю, а потому для определения положения этой оси приравняем нулю выражение (4.9):

так как , то

или

Уравнение нейтральной оси (5.9) представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Рис. 4.9

Тангенс угла наклона нейтральной оси к оси равен (см. рис. 4.9). Следовательно, на основании формулы (5.9)

или

Формула (6.9) служит для определения положения нейтральной оси (нулевой линии) при косом изгибе. В этой формуле р — угол, на который надо повернуть ось по часовой стрелке (при ) для того, чтобы она совпала с нейтральной осью; а — угол, на который надо повернуть ось у по часовой стрелке (при для того, чтобы она совпала с плоскостью действия изгибающего момента.

На рис. 4.9 показаны положительные значения углов а и р. Из формулы (6.9) видно, что знаки углов всегда одинаковы.

Из формулы (6.9) видно, что в общем случае угол Р не равен углу а, т. е. что нейтральная ось не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента.

Она перпенднкулярна этой плоскости при т. е. когда главные моменты инерции поперечного сечения бруса одинаковы. Но в этом случае, как известно (см. § 7.5), любые центральные оси инерции сечения являются главными и, следовательно, косой изгиб невозможен. Из формулы (6.9) следует также, что положение нейтральной оси не зависит от величины изгибающего момента, так как она не входит в выражение тангенса угла .

Если , то в этом случае, по формуле (6.9), .

Рис. 5.9

Таким образом, нейтральная ось при косом изгибе повернута на угол от оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента (т. е. оси на рис. 5.9), к оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение.

Рассмотрим поперечное сечение бруса в форме прямоугольника с отношением сторон для которого

В этом случае даже при небольшом угле а, т. е. небольшом отклонении плоскости действия изгибающего момента от оси угол получается значительным. Например, при

Положение нейтральной оси для этого случая показано на рис. 6.9.

Таким образом, угол на которой повернута нейтральная ось от оси (см. рис. 5.9), может быть значительным.

Можно показать, что нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса при косом изгибе, так же как и в случае прямого изгиба, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси.

Наибольшие напряжения, следовательно, возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси Эпюра нормальных напряжений, значения которых отложены от прямой, перпендикулярной нейтральной оси, показана на рис. 7.9, на котором оси у и — главные центральные.

Рис. 6.9

Точки поперечного сечения, в которых при изгибе возникают наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения (точки А и В на рис. 7.9), являются опасными точками сечения.

Для определения их положения по формуле (6.9) следует найти угол , провести нейтральную ось, а затем параллельно ей провести линии, касающиеся контура сечения. Таким путем определим точки сечения, наиболее удаленные от нейтральной оси, которые и являются опасными.

Таким образом, определение положения нейтральной оси нужно для отыскания опасных точек сечения и последующего расчета на прочность. При некоторых типах поперечных сечений опасные точки можно легко установить, не определяя положения нейтральной оси. Примеры таких сечений приведены на рис. 8.9, а, б.

Опасными для пластичного материала являются две из четырех точек, совпадающих с углами прямоугольника, стороны которого параллельны осям у и и касаются контура сечения (эти четыре точки отмечены на рис. 8.9, а, б кружками).

Опасными являются те две точки, в которых знаки напряжений совпадают. Для хрупкого материала опасной будет одна из четырех указанных точек — та, в которой возникает наибольшее растягивающее напряжение.

Для сечений рассматриваемого типа опасной (или опасными) является точка (или точки), наиболее удаленная одновременно от обеих главных осей инерции.

Рис. 7.9

Следовательно, при вычислении напряжений в этой точке в формулу (1.9) надо подставить . В результате получим

Так как для опасной точки знаки обоих слагаемых совпадают, а сумма берется по абсолютной величине, в эту формулу подставляем абсолютные значения всех входящих в нее величин. Учитывая, что

и что напряжения атах не должны превышать допускаемых, получаем следующее условие прочности:

Формулу (7.9) можно представить в виде

Для хрупкого материала в качестве надо принимать допускаемое напряжение на растяжение.

В тех случаях, когда положение опасных точек не очевидно (например, для сечений, изображенных на рис. 8.9, в, г, д, е), следует определить положение нейтральной оси, установить положение опасных точек и по формуле (1.9) или (4.9) вычислить возникающие в них напряжения, которые не должны превышать допускаемых. Пользоваться в этих случаях формулами (7.9) и (8.9) нельзя.

Наибольшие нормальные напряжения при косом изгибе могут значительно отличаться от напряжений при прямом изгибе, вызванном изгибающим моментом такой же величины, но действующим в плоскости, перпендикулярной той главной оси инерции, относительно которой момент инерции равен .

Рис. 8.9

Так, например, для прямоугольного поперечного сечения, показанного на рис. 6.9, при изгибающем моменте М, действующем в плоскости, проходящей через ось у (т. е. при наибольшие напряжения

а при они равны [по формуле (8.9)]

так как

Таким образом, отклонение плоскости действия момента от оси у всего на 5° приводит к увеличению наибольших нормальных напряжений на 43%.

При брусе из пластичного материала определить опасное поперечное сечение в ряде случаев косого изгиба довольно трудно. Опасным даже при брусе постоянного сечения может оказаться сечение, в котором не только полный изгибающий момент М, но и ни один из составляющих его моментов не является наибольшим. Поэтому часто приходится производить проверку для ряда поперечных сечений, в которых возникают наибольшие моменты или и в которых они одновременно имеют достаточно большие значения. При брусе переменного сечения опасным может оказаться сечение, имеющее меньшие размеры, чем другие, даже когда в нем действуют сравнительно небольшие изгибающие моменты

Рис. 9.9

При брусе из хрупкого материала опасной может оказаться не точка бруса, в которой возникает наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение (являющееся сжимающим), а точка, в которой нормальное напряжение имеет хотя и меньшее значение, но является растягивающим.

Так как косой изгиб представляет собой сочетание двух прямых изгибов, то перемещения в прямых брусьях при косом изгибе могут определяться теми же методами, что и в случае прямого изгиба (см. § 15.7-17.7). Для этого все нагрузки раскладываются на составляющие, действующие в главных плоскостях Затем отдельно определяются перемещения в плоскости (от составляющих, действующих в этой плоскости) и отдельно — в плоскости

Когда при косом изгибе внешние силы, действующие на прямой брус, расположены в одной плоскости, его изогнутая ось (упругая линия) представляет собой плоскую кривую, расположенную, однако, не в плоскости действия сил. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим балку, заделанную одним концом и нагруженную на свободном конце силой Р (рис. 9.9). Составляющие этой силы, действующие в плоскостях равны . Перемещения любой точки оси балки соответственно в направлениях осей у вызванные силами равны

где — некоторая функция абсциссы рассматриваемой точки.

После деформации центр тяжести О любого поперечного сечения сместится на величину в направлении оси у и на величину в направлении оси , т. е. он переместится в точку О (рис. 9.9). Угол наклона прямой к оси у найдем из уравнения

Но на основании формулы (6.9)

Поэтому

Таким образом, перемещения точек оси рассматриваемой балки происходят в плоскости, перпендикулярной нейтральной оси и, следовательно, не совпадающей с плоскостью действия нагрузки.

В случае косого изгиба, когда внешние силы не расположены в одной плоскости, направление полного прогиба в каждом поперечном сечении бруса не перпендикулярно к нейтральной линии.

Если перемещения точки оси балки в плоскостях известны, то полное перемещение этой точки, а также угол между направлением и осью у определяют по формулам: