Примеры расчета

Пример 1.16 (к § 1.16). Определить, пользуясь третьей теорией прочности требуемую толщину стенки шарового тонкостенного сосуда, находящегося под действием внутреннего газового давления . Диаметр сосуда допускаемое напряжение

Решение. Окружные и меридиональные напряжения, возникающие в стенке сосуда, определяются по формуле (2.16).

Оба эти напряжения являются главными. Третье из главных напряжений, соответствующее площадке, касательной к поверхности сосуда, равно нулю (см. рис. 2.16). Учитывая правило индексов для главных напряжений и что напряжения и являются растягивающими, имеем

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид

Подставляем в это выражение значения

откуда

Округляя, принимаем .

Пример 2.16 (к § 1.16). Определить напряжения и от на глубине h в стенке наполненного водой тонкостенного сосуда, имеющего форму полушара, радиус которого R и толщина стенки . Меридиональное сечение сосуда изображено на рис. 8.16, а. Сосуд подвешен к некоторой опорной конструкции. Собственным весом сосуда при расчете пренебречь.

Рис. 8.16

Решение. Рассечем сосуд на уровне АВ (на глубине ) конической поверхностью, перпендикулярной меридиану, и рассмотрим равновесие нижней отсеченной части (рис. 8.16, б).

На эту часть действуют следующие силы:

1) сила давления по плоскости АВ слоя воды высотой h, направленная вниз:

где учтено, что

2) вес воды в сосуде ниже сечения АВ, направленный вниз и равный

где — объемный вес воды; — объем элементарного слоя воды толщиной заштрихованного на рис. 8.16, б.

Подставив в выражение значения следовательно, и заменив пределы интегрирования, получим

3) сила действия верхней части сосуда на отсеченную нижнюю, направленная вверх:

так как

Представим уравнение равновесия нижней отсеченной части сосуда в виде суммы проекций всех сил на ось у:

откуда

Им формулы (1.16) при

Подставим в это выражение значение от и давление

Для определения напряжений на глубине h по заданным значениям h и R из равенства следует определить значение угла и затем подставить его в полученные выражения и от.

Пример 3.16 (к § 1.16). Определить толщину 6 стенки цилиндрической части котла диаметром D (изображенного на рис. 9.16), в котором находится пар под давлением Допускаемое напряжение равно

Рис. 9.16

Решение. На рис. 9.16 показаны сечение котла плоскостью перпендикулярной оси симметрии котла, и элемент стенки с действующими на него напряжениями и от. Радиусы кривизны этого элемента равны

Подставим значения в формулу (1.16):

откуда

Для определения напряжений от составим условие равновесия части котла, расположенной по одну сторону (например, справа) от сечения в виде суммы проекций сил на ось

здесь равнодействующая давления пара на правое днище котла; — результат действия левой части котла на правую (внутренняя сила, возникающая в сечении ).

Решим это уравнение относительно :

Таким образом, главные напряжения, возникающие в стенке котла, имеют следующие значения:

Формула для определения толщины стенки зависит не только от величин главных напряжений, но и от принятой для расчета теории прочности. Так как паровые котлы изготовляются обычно из малоуглеродистой стали (пластичного материала), то здесь применимы третья и четвертая теория прочности.

По третьей теории прочности (наибольших касательных напряжений),

или

откуда

По четвертой теории прочности (удельной потенциальной энергии изменения формулы),

или

откуда

Заметим, что по четвертой теории прочности требуемая толщина стенки получается меньшей, чем по третьей.

Пример 4.16 (к § 2.16). Стальной цилиндр, внутренний радиус которого и наружный , подвергается внутренному давлению (рис. 10.16, а). Построить эпюры напряжений и проверить прочность цилиндра по третьей теории прочности при допускаемом напряжении Определить увеличения внутреннего и наружного радиуса цилиндра; при этом принять

Решение. По формулам (7.16) и (8.16) при

С помощью полученных выражений находим: при см

Построенные по этим значениям эпюры изображены на рис. 10.16, б.

Рис. 10.16

Опасными являются точки у внутренней поверхности цилиндра, в которых действуют главные напряжения Проверяем прочность цилиндра в этих точках.

По третьей теории прочности, т. е.

Следовательно, прочность цилиндра достаточна.

По формулам (10.16) и (11.16) определяем увеличение внутреннего и наружного радиусов цилиндра:

Пример (к § 2.16). Составной открытый цилиндр состоит из двух труб, собранных с натягом. Размеры поперечного сечения цилиндра показаны на рис. 11.16, а. Наружная (первая) труба изготовлена с внутренним диаметром на 0,02 см меньше наружного диаметра внутренней (второй) трубы. Построить эпюры полных напряжений в цилиндре при внутреннем давлении Принять .

Решение. На рис. 11.16, б, в показаны сечения второй и первой труб и действующие на эти трубы давления. Полное (вызванное натягом и давлением ) давление, действующее по поверхности соприкосновения (контакта) первой и второй труб, обозначим

Увеличение наружного радиуса второй трубы равно [по формуле

Увеличение внутреннего радиуса первой трубы равно [по формуле (10.16)]

Внутренний радиус первой трубы изготовлен на меньше наружного радиуса второй трубы.

Рис. 11.16

После сборки составного цилиндра в частности, после создания давления оба эти радиуса одинаковы. Следовательно, или , откуда

Определяем по формуле (8.16) напряжения во второй трубе (рис. 11.16, б): при

Определяем по формуле (8.16) напряжения в первой трубе (рис. 11.16, в):

На рис. 11.16, г,д изображены эпюры . Напряжения в точках и 3 равны соответственно и нулю. Из эпюры (рис. 11.16, д) видно, что величина натяга при изготовлении труб для составного цилиндра выбрана излишне большой. В результате этого распределение напряжений по толщине цилиндра получилось резко неравномерным. Если бы, например, величина натяга была принята равной не 0,02 см, а 0,008 см, то эпюра напряжений имела бы вид, изображенный на рис. наибольшее напряжение равнялось бы при этом