§ 6.2. РАБОТА СИЛЫ ПРИ ЕЕ СТАТИЧЕСКОМ ДЕЙСТВИИ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрим нагружение бруса силой Р (рис. 21.2, а), величина которой медленно увеличивается от нуля до своего конечного значения. Такое нагружение называется статическим (см. § 2.1). Сила Р вызывает продольную деформацию бруса, в результате чего сечение бруса, в котором она приложена, смещается. При этом сила Р совершает работу.

Рис. 21.2

Построим диаграмму растяжения бруса силой Р. По оси ординат отложим величины силы Р, а по оси абсцисс — соответствующие им перемещения 6 нижнего конца бруса (рис. 21.2, б).

Обозначим t момент времени, которому соответствуют некоторые значения силы Р и перемещения 6. В последующий бесконечно малый промежуток времени сила Р получит приращение а нижний конец бруса опустится на Составим выражение работы силы Р на перемещение отбрасывая при этом бесконечно малые величины второго порядка малости:

Работа равна (с учетом масштабов, в которых отложены значения Р и ) площади (рис. 21.2, б). Полную величину работы А при изменении силы Р от нуля до получим интегрированием последнего выражения:

Таким образом, работа А равна площади диаграммы растяжения, заштрихованной на рис. 21.2, б.

Вся площадь диаграммы OABCD (рис. 21.2, б) равна работе, затраченной на разрыв бруса. Применение материала (например, стали) с более высокой прочностью может приводить к уменьшению работы, затрачиваемой на разрыв бруса, если эта сталь обладает меньшей пластичностью (рис. 22.2) и площадь Q для нее меньше.

Если напряжения в брусе при действии силы Р не превышают предела пропорциональности, то величина и представляет собой площадь треугольника, имеющего высоту Р и основание , которое по закону Гука определяется выражением

В этом случае работу можно определить по формуле

Исключим из формулы (21.2) силу Р с помощью следующих зависимостей:

тогда получим другие выражения работы:

Наличие в знаменателях формул (21.2) и (22.2) множителя 2 объясняется тем, что в эти формулы входят конечные значения Р, 6 или а, в то время как в действительности они изменялись от нуля до этих значений.

Рис. 22.2

При напряжениях, не превышающих предела упругости, изменение теплового и электромагнитного состояния материала незначительно и им можно пренебречь. Поэтому вся работа внешней силы на основании закона сохранения энергии накапливается в материале тела в виде потенциальной энергии деформации. В процессе разгружения тела эта энергия расходуется на восстановление его первоначальных формы и размеров. Таким образом, упругое тело обладает способностью запасать (аккумулировать) энергию. Обозначив потенциальную энергию деформации U, получим

или (при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности) на основании (21.2) и (22.2):

Последнее выражение можно представить в виде

где - объем бруса,

Разделив левую и правую части формулы (25.2) на V, получим количество потенциальной энергии, приходящееся на единицу объема бруса, т. е. величину так называемой удельной потенциальной энергии деформации

Потенциальная энергия U и работа А выражаются в и т. д. Удельная потенциальная энергия и имеет размерность (или кгс/см2), и т. д.

Рассмотрим одновременное действие нескольких сил на брус со ступенчатым изменением размеров поперечных сечений (рис. 23.2, а) при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности. В этом случае для определения потенциальной энергии деформации и равной ей работы внешних сил формулу (25.2) надо применить к каждому участку бруса с одинаковыми значениями напряжений а и полученные результаты просуммировать, т. е.

где — число участков, отличающихся значением напряжений; - нормальные напряжения в поперечных сечениях участка; -объем участка.

Заменив в формуле , получим

где - продольная сила в поперечном сечении бруса на участке — соответственно площадь поперечного сечения бруса на участке i и длина этого участка.

На основании формулы (21.2) значения ( можно выразить через работу внешних сил;

где — число сил ; - перемещение поперечного сечения, в котором приложена сила по направлению этой силы.

Рис. 23.2

В случае действия на брус распределенных по длине его оси продольных нагрузок или при непрерывном изменении размеров поперечных сечений бруса (рис. 23.2, б) потенциальная энергия деформации, накапливающаяся в элементарном объеме определяется выражением

Следовательно, накапливающаяся во всем брусе потенциальная энергия определяется выражением

Подставив в формулу (30.2) значения получим

Анализ выражений потенциальной энергии деформации позволяет сделать следующие выводы:

1) потенциальная энергия всегда положительна, так как в ее выражения входят квадраты напряжений, деформаций, сил;

2) потенциальная энергия деформации бруса, вызванная группой сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных каждой из сил отдельно. С математической точки зрения это является следствием того, что потенциальная энергия пропорциональна квадрату напряжения или силы, а квадрат суммы не равен сумме квадратов слагаемых;

3) количество (величина) потенциальной энергии не зависит от последовательности приложения нагрузки, так как конечные значения входящие в ее выражения, не зависят от этой последовательности.